Question

17．如图，△ABC是等腰直角三角形，P是斜边AB上的一点，以CP为斜边作等腰Rt△CPE，连接AE交BC所在直线于D．求证：AE=ED．

Answer 1

分析 先过点E作EF⊥BD于点F，过点C作CG⊥AB于G，得到∠CGP=∠EFC=90°，再根据∠GPC=∠FCE，判定△GPC∽△FCE，得出CG=$\sqrt{2}$EF，最后根据△ACG是等腰直角三角形，得到AC=$\sqrt{2}$CG=2EF，即可得到E是AD的中点．

解答 解：如图所示，过点E作EF⊥BD于点F，过点C作CG⊥AB于G，则∠CGP=∠EFC=90°，
∵△CPE，△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠PCE=∠B=45°，
∴∠BCP+∠GPC=135°，∠BCP+∠FCE=135°，
∴∠GPC=∠FCE，
∴△GPC∽△FCE，
∴EF：CG=CE：PC=1：$\sqrt{2}$，
即CG=$\sqrt{2}$EF，
又∵△ACG是等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$CG=2EF，
∵EF∥AC，
∴$\frac{DE}{DA}$=$\frac{EF}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AE=ED．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例进行推导．解题时注意：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例．