Question

10．矩形ABCD中，点E为BC上一点，BE=$\frac{1}{4}$BC，点F为边AD上的一个动点，连接EF，将矩形ABCD沿着EF翻折，使点C恰好落在AB上，其对应点为M．
（1）如图1，当点F与点D重合时，求证：△AMD∽△BEM；
（2）当$\frac{DF}{AD}$=$\frac{1}{5}$时，如图2，点D的对应点为点D′，D′M与AD交于点N，求证：AN=FD．

Answer 1

分析 （1）因为△DEM是由△DEC翻折得到，是由∠DME=∠C=90°，推出∠AMD+∠BME=90°，∠BME+∠MEB=90°，推出∠AMD=∠MEB，由此不难证明．
（2）由△D′FN∽△AMN∽△BEM，BE=$\frac{1}{4}$BC，推出EC：BE=EM：BE=3：1，推出D′F：FN=1：3，设DF=FD′=a，则FN=3a，因为DF=$\frac{1}{5}$AD，推出AD=5a，推出AN=AF-FN=4a-3a=a，由此即可证明．

解答 证明：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=∠B=90°，
∵△DEM是由△DEC翻折得到，
∴∠DME=∠C=90°，
∴∠AMD+∠BME=90°，∠BME+∠MEB=90°，
∴∠AMD=∠MEB，∵∠A=∠B=90°，
∴△AMD∽△BEM．

（2）如图2中，

同理可证△AMN∽△BEM，
∵∠A=∠D′=90°，∠ANM=∠FND′，
∴△D′FN∽△AMN∽△BEM，
∵BE=$\frac{1}{4}$BC，
∴EC：BE=EM：BE=3：1，
∴D′F：FN=1：3，设DF=FD′=a，则FN=3a，
∵DF=$\frac{1}{5}$AD，
∴AD=5a，
∴AN=AF-FN=4a-3a=a，
∴AN=DF=a．
∴AN=DF．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、翻折变换等知识，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键，学会利用参数解决问题，是由中考常考题型．