Question

【题目】如图，中，，，为外接圆，为的内心．

求的长；

求的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）连接AO，且延长AO交BC于D，连接OB、OC，求出AD⊥BC，BD=DC，根据勾股定理求出AD．在Rt△OBD中，由勾股定理得出OB2=OD2+BD2，代入求出即可；

（2）作△ABC的内切圆I，过点I作ID⊥BC，垂足为D．先利用面积法求得ID=，然后再Rt△BDI中依据勾股定理求得IB的长即可．

（1）如图1所示：连接AO，且延长AO交BC于D，连接OB、OC．

∵AB=AC，O为△ABC外接圆的圆心，∴AD⊥BC，BD=DC，BD=DC=BC=5，设等腰△ABC外接圆的半径为R，则OA=OB=OC=R．在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=12．在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即R2=（12﹣R）2+52，解得：R=，∴BO=；

（2）如图2所示：作△ABC的内切圆I，过点I作ID⊥BC，垂足为D．

设圆I的半径为r，根据题意得：，即．解得：r=．

∵BC是圆I的切线，∴ID⊥BC．

在Rt△BID中，由勾股定理得：BI===．