题目内容
【题目】如图，
为
的直径，点
为上的一点，在
的延长线上取点
，使
，
与交于点
，
于点
．
求证：（1）
是的切线；（2）
．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据三角形中位线定理得到OD∥AC，根据平行线的性质得到DF⊥OD，根据切线的判定定理证明即可；
（2）证明△CDF∽△CAD，根据相似三角形的性质定理证明即可．
证明（1）如图1，连接OD．
∵OA=OB，BD=DC，∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；
（2）如图2，连接AD．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD⊥BC．
又∵BD=DC，∴AB=AC．
∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°，∴∠DFC=∠ADC=90°．
又∵∠C=∠C，∴△CDF∽△CAD，∴
，即：CD2=CFAC．
又∵BD=CD，AB=AC，∴DB2=CFAB．
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