Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点P是直线上方的抛物线上的一个动点，求△ABP的面积最大时的P点坐标．

（3）若点P是抛物线上的一个动点（不与点A点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．当PE=2ED时，求P点坐标；

（4）设抛物线与y轴交于点F，在抛物线的第一象限内，是否存在一点M，使得AM被FC平分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x+5；（2）△ABP的面积最大时，P点坐标为；（3）当PE=2ED时，P点坐标为（2，9）或（6，﹣7）；（4）在抛物线上存在一点M，当其坐标为（1,8）或时，AM被FC平分．

【解析】

（1）先根据直线解析式求出B点坐标，再根据A点和C点在轴上写出交点式，最后利用待定系数法求解并化为一般式即得；

（2）过点P作y轴的平行线交AB于点H，先设P点坐标，进而根据P点坐标表示的“铅垂高”PH和点A及点B的水平距离，再根据“三角形面积=铅垂高点A及点B的水平距离”列出二次函数关系，最后即可根据二次函数的性质求出面积最大时点P的坐标；

（3）先设P点坐标，根据PD⊥x轴表示E点和D点的坐标，再根据PE=2ED列出方程求解即得；

（4）先根据F点与C点坐标求出直线FC的解析式，再设M点的坐标并表示出AM的中点，最后将中点坐标代入直线FC的解析式解方程即可．

（1）将交点B（4，m）代入直线y=x+1得B（4，5），

由题意可设抛物线解析式y=a（x+1）（x﹣5），

把B（4，5）代入得，∴，即；

（2）过点P作y轴的平行线交AB于点H，如下图：

设P点坐标为（，）则H点的坐标为（，）

∴

∵A（﹣1，0），B（4，5）

∴=4﹣（﹣1）=5

∴

∴当时△ABP的面积最大

∴P点坐标为

∴△ABP的面积最大时P点坐标为；

（3）设P点坐标为（，）则E点的坐标为（，）

∵P为抛物线上一点

∴存在P点在直线AB上方和下方两种情况．

∴由题意得，，

∵PE=2ED

∴，所以

解得：x1=﹣1（舍），x2=2，x3=6，

当x=2时，y=9；当x=6时，y=﹣7．

即当PE=2ED时，求P点坐标为（2，9）或（6，-7）；

（4）存在一点M，使得AM被FC平分，理由如下：

若AM被FC平分，则AM的中点在直线FC上．

∵F（0，4），C（5，0）

∴直线FC的表达式为：yx+4

设M（x，﹣x2+4x+5），A（﹣1，0）

∴AM中点坐标为，

将坐标代入解得：，

把代入抛物线解析式得

把代入抛物线解析式得

∴当点的坐标为（1,8）或时，AM被FC平分．