Question

如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点(与圆心O不重合)，直线CP与⊙O相交于另一点Q，如果QP＝QO，则∠OCP＝         ．

Answer 1

20或40或100

试题分析：解：①根据题意，画出图（1），
在△QOC中，OC=OQ，∴∠OQC=∠OCP，
在△OPQ中，QP=QO，∴∠QOP=∠QPO，
又∵∠AOC=30°，∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°，
在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP=180°，
整理得，3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°．
②当P在线段OA的延长线上（如图2）
∵OC=OQ，∴∠OQP=（180°-∠QOC）×①，
∵OQ=PQ，∴∠OPQ=（180°-∠OQP）×②，
在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③，
把①②代入③得：60°+∠QOC=∠OQP，
∵∠OQP=∠QCO，∴∠QOC+2∠OQP=∠QOC+2（60°+∠QOC）=180°，
∴∠QOC=20°，则∠OQP=80°∴∠OCP=100°；
③当P在线段OA的反向延长线上（如图3），
∵OC=OQ，∴∠OCP=∠OQC=（180°-∠COQ）×①，
∵OQ=PQ，∴∠P=（180°-∠OQP）×②，
∵∠AOC=30°，∴∠COQ+∠POQ=150°③，
∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④，①②③④联立得∠P=10°，
∴∠OCP=180°-150°-10°=20°．
故答案为：40°、20°、100°．
点评：本题难度较高。主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，先假设存在并进行分类讨论是进行解题的关键．