题目内容
平面直角坐标系
中，原点O是正三角形ABC外接圆的圆心，点A在
轴的正半轴上，△ABC的边长为6．以原点O为旋转中心将△ABC沿逆时针方向旋转角，得到△
，点
、
、
分别为点A、B、C的对应点．
（1）当=60时，
①请在图1中画出△；
②若AB分别与
、
交于点D、E，则DE的长为_______；
（2）如图2，当⊥AB时，分别与AB、BC交于点F、G，则点的坐标为 _____，△FBG的周长为_____，△ABC与△重叠部分的面积为_______．
中，原点O是正三角形ABC外接圆的圆心，点A在轴的正半轴上，△ABC的边长为6．以原点O为旋转中心将△ABC沿逆时针方向旋转角，得到△，点、、分别为点A、B、C的对应点．（1）当=60时，
①请在图1中画出△
；②若AB分别与
、交于点D、E，则DE的长为_______； （2）如图2，当
⊥AB时，分别与AB、BC交于点F、G，则点的坐标为 _____，△FBG的周长为_____，△ABC与△重叠部分的面积为_______．（1）由旋转角，对应点可画出图像，（2）DE="2" (3)A′(-
,3) △FBG的周长6，重叠的面积27-9
,3) △FBG的周长6，重叠的面积27-9试题分析：（1）∵在平面直角坐标系XOY中，△ABC是⊙O的外接圆，经中心O旋转60°后，得到△A′B′C′把⊙0平均分成了六份，六个顶点能构成内接正六边形∴各边的交点又构成小的正六边形，∴AB与A′B′的交点为三等份的点，从而得到DE=
×6=2，（2）∵点O是三角形四心重合的点，AB⊥A’B’.可得A’B’ ⊥x轴，在△ABC中可易求OA=2。∴OA’=2由O,A’与x 轴组成的三角形是特殊的三角形，即30°,60°90°∴A’(-
,3) ∵BF=A’F, ∴△FBG的周长="AB的边长=6." （3）设BG为x,则FG为x,BF为2x. ∴x+x+2x="6" ∴x=(3-)∴ △ABC的面积-三倍△BFG的面积=重叠的面积=
×6×3-×3×（3-）×（3-）=27-9.解：（1）①如图所示. 
……………………………………1分
②DE的长为 2 ； ………………………………2分
（2）点
的坐标为
，△FBG的周长为 6 ，△ABC与△
重叠部分的面积为
． …………………………………5分
阅卷说明：第（2）问每空1分.
点评：本题有一定的难度，关键熟悉几个公式的应用，由于圆心就是三角形的内心，从而得到特殊角的度数在Rt三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，列出方程求出边长，再有重叠的面积=三角形的面-三个全等的小三角形的面积。注意的是，旋转后得到六个全等的三角形。中档题，有一定的难度，计算量较大易出错。
练习册系列答案
相关题目
为S，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是 
的值和CD的长．
和☉
的半径是方程
的两根，圆心距
=4，则☉
，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为 cm．（结果保留π）