Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

（1）设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-2），
将B（0，-4）代入得：-4=-8a，即a=

1

2

，
则抛物线解析式为y=

1

2

（x+4）（x-2）=

1

2

x²+x-4；

（2）过M作MN⊥x轴，
将x=m代入抛物线得：y=

1

2

m²+m-4，即M（m，

1

2

m²+m-4），
∴MN=|

1

2

m²+m-4|=-

1

2

m²-m+4，ON=-m，
∵A（-4，0），B（0，-4），∴OA=OB=4，
∴△AMB的面积为S=S_△AMN+S_梯形MNOB-S_△AOB
=

1

2

×（4+m）×（-

1

2

m²-m+4）+

1

2

×（-m）×（-

1

2

m²-m+4+4）-

1

2

×4×4
=2（-

1

2

m²-m+4）-2m-8
=-m²-4m
=-（m+2）²+4，
当m=-2时，S取得最大值，最大值为4．