Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y₁=2x²+

1

4

的顶点为M，直线y₂=x，点P（n，0）为x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线y₁=2x²+

1

4

和直线y₂=x于点A，点B．
（1）直接写出A，B两点的坐标（用含n的代数式表示）；
（2）设线段AB的长为d，求d关于n的函数关系式及d的最小值，并直接写出此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系；
（3）已知二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为整数且a≠0），对一切实数x恒有x≤y≤2x²+

1

4

，求a，b，c的值．

Answer 1

（1）当x=n时，y₁=2n²+

1

4

，y₂=n；
∴A（n，2n²+

1

4

），B（n，n）．

（2）d=AB=|y_A-y_B|=|2n²-n+

1

4

|．
∴d=|2（n-

1

4

）²+

1

8

|=2（n-

1

4

）²+

1

8

．
∴当n=

1

4

时，d取得最小值

1

8

．
此时，B（

1

4

，

1

4

），而M（0，

1

4

）、P（

1

4

，0）
∴四边形OMBP是正方形
∴当d取最小值时，线段OB与线段PM的位置关系和数量关系是OB⊥PM且OB=PM．（如图）

（3）∵对一切实数x恒有x≤y≤2x²+

1

4

，
∴对一切实数x，x≤ax²+bx+c≤2x²+

1

4

都成立．（a≠0）①
当x=0时，①式化为0≤c≤

1

4

．
∴整数c的值为0．
此时，对一切实数x，x≤ax²+bx≤2x²+

1

4

都成立．（a≠0）
即

x≤ax2+bx② ax2+bx≤2x2+ 1 4 ③

对一切实数x均成立．
由②得ax²+（b-1）x≥0（a≠0）对一切实数x均成立．
∴

a＞0④ △1=(b-1)2≤0⑤

由⑤得整数b的值为1．
此时由③式得，ax²+x≤2x²+

1

4

对一切实数x均成立．（a≠0）
即（2-a）x²-x+

1

4

≥0对一切实数x均成立．（a≠0）
当a=2时，此不等式化为-x+

1

4

≥0，不满足对一切实数x均成立．
当a≠2时，∵（2-a）x²-x+

1

4

≥0对一切实数x均成立，（a≠0）
∴

2-a＞0⑥ △2=(-1)2-4×(2-a)× 1 4 ≤0⑦

∴由④，⑥，⑦得0＜a≤1．
∴整数a的值为1．
∴整数a，b，c的值分别为a=1，b=1，c=0．