题目内容

在平面直角坐标系xOy中,抛物线y1=2x2+
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的顶点为M,直线y2=x,点P(n,0)为x轴上的一个动点,过点P作x轴的垂线分别交抛物线y1=2x2+
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和直线y2=x于点A,点B.
(1)直接写出A,B两点的坐标(用含n的代数式表示);
(2)设线段AB的长为d,求d关于n的函数关系式及d的最小值,并直接写出此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系;
(3)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为整数且a≠0),对一切实数x恒有x≤y≤2x2+
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,求a,b,c的值.
(1)当x=n时,y1=2n2+
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,y2=n;
∴A(n,2n2+
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),B(n,n).

(2)d=AB=|yA-yB|=|2n2-n+
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|.
∴d=|2(n-
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2+
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|=2(n-
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2+
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∴当n=
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时,d取得最小值
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此时,B(
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),而M(0,
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)、P(
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,0)
∴四边形OMBP是正方形
∴当d取最小值时,线段OB与线段PM的位置关系和数量关系是OB⊥PM且OB=PM.(如图)

(3)∵对一切实数x恒有x≤y≤2x2+
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∴对一切实数x,x≤ax2+bx+c≤2x2+
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都成立.(a≠0)①
当x=0时,①式化为0≤c≤
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∴整数c的值为0.
此时,对一切实数x,x≤ax2+bx≤2x2+
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都成立.(a≠0)
x≤ax2+bx②
ax2+bx≤2x2+
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对一切实数x均成立.
由②得ax2+(b-1)x≥0(a≠0)对一切实数x均成立.
a>0④
1=(b-1)2≤0⑤

由⑤得整数b的值为1.
此时由③式得,ax2+x≤2x2+
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对一切实数x均成立.(a≠0)
即(2-a)x2-x+
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≥0对一切实数x均成立.(a≠0)
当a=2时,此不等式化为-x+
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≥0,不满足对一切实数x均成立.
当a≠2时,∵(2-a)x2-x+
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≥0对一切实数x均成立,(a≠0)
2-a>0⑥
2=(-1)2-4×(2-a)×
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≤0⑦

∴由④,⑥,⑦得0<a≤1.
∴整数a的值为1.
∴整数a,b,c的值分别为a=1,b=1,c=0.
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