Question

如图，抛物线的顶点坐标是(

5

2

，-

9

8

)，且经过点A（8，14）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设该抛物线与y轴相交于点B，与x轴相交于C、D两点（点C在点D的左边），试求点B、C、D的坐标；
（3）设点P是x轴上的任意一点，分别连接AC、BC．试判断：PA+PB与AC+BC的大小关系，并说明理由．

Answer 1

（1）设抛物线的解析式为y=a（x-

5

2

）²-

9

8

∵抛物线经过A（8，14），
∴14=a（8-

5

2

）²-

9

8

，
解得：a=

1

2

∴y=

1

2

（x-

5

2

）²-

9

8

（或y=

1

2

x2-

5

2

x+2）

（2）令x=0得y=2，
∴B（0，2）
令y=0得

1

2

x²-

5

2

x+2=0，
解得x₁=1、x₂=4
∴C（1，0）、D（4，0）

（3）结论：PA+PB≥AC+BC
理由是：①当点P与点C重合时，有PA+PB=AC+BC
②当点P异于点C时，
∵直线AC经过点A（8，14）、C（1，0），
∴直线AC的解析式为y=2x-2
设直线AC与y轴相交于点E，令x=0，得y=-2，
∴E（0，-2），
则点E（0，-2）与B（0，2）关于x轴对称
∴BC=EC，连接PE，则PE=PB，
∴AC+BC=AC+EC=AE，
∵在△APE中，有PA+PE＞AE
∴PA+PB=PA+PE＞AE=AC+BC
综上所得AP+BP≥AC+BC．