Question

【题目】已知是的外接圆，AD为的直径，，垂足为E，连接BO，延长BO交AC于点F．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，过点D作，交于点G，点H为GD的中点，连接OH，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若的面积为，求线段CG的长．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）CG=．

【解析】

（1）先推出∠BAD=∠CAD，然后根据圆周角定理可得出∠BOD=2∠BAD=2∠CAD，根据∠BOD=∠AOF，可得出∠AOF=2∠CAD，根据∠BFC=∠AOF+∠CAD，即可证明结论；

（2）连接OG，证明△OBE≌△DOH，即可证明结论；

（3）连接AG，过A点作AM⊥CG于点M，过F点作FN⊥AD于点N，先推出DE=2OE，设OE=m，则DE=2m，OB=OD=OA=3m，AE=4m，根据勾股定理得出CE=BE=，再求出tan∠BOE===，tan∠EAC===，根据tan∠AOF=tan∠BOE=，得出=，设ON=a，则NF=a，可得tan∠EAC=，解出AN，根据AN+NO=AO，解出a=m，再根据S△AOF=·OA·FN=，可求出m=1，可得出DH=1，OD=3， BE=CE=OH=，AE=4，根据勾股定理可得AC=，根据OD=OA，DH=HG，得出AG=2OH=，推出cos∠ADG=cos∠ACM，即可求出CM=，利用勾股定理可得AM=，GM=，即可得出答案．

解：（1）∵AD为的直径，，

∴，BE=CE，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠BOD=2∠BAD，

∴∠BOD=2∠CAD，

∵∠BOD=∠AOF，

∴∠AOF=2∠CAD，

∵∠BFC=∠AOF+∠CAD，

∴∠BFC=2∠CAD+∠CAD=3∠CAD；

（2）连接OG，

∵点H为GD的中点，OG=OD，

∴DH=GH，OH⊥DG，

∵AD⊥BC，

∴∠AEB=∠OHD=90°，

∵DG∥BF，

∴∠BOH=∠OHD=90°，

即∠DOH+∠BOD=90°，

∵∠BOD+∠OBE=90°，

∴∠OBE=∠DOH，

又∵OB=OD，

∴△OBE≌△DOH，

∴BE=OH；

（3）如图，连接AG，过A点作AM⊥CG于点M，过F点作FN⊥AD于点N，

由（2）可知DH=OE，

∵DG=2DH=2OE，DG=DE，

∴DE=2OE，

设OE=m，则DE=2m，

∴OB=OD=OA=3m，

∴AE=4m，

在Rt△OBE中，BE==，

∴CE=BE=，tan∠BOE===，tan∠EAC===，

∵tan∠AOF=tan∠BOE=，

∴=，

设ON=a，则NF=a，

∴tan∠EAC=，

∴AN=4a，

∵AN+NO=AO，

∴4a+a=3m，

∴a=m，

∴FN=×m=m，

∵S△AOF=·OA·FN=，

∴·3m·m=，

∴m2=1，

∴m=±1，

∵m>0，

∴m=1，

∴DH=1，OD=3，由（2）得BE=CE=OH=，AE=4，

在Rt△AEC中AC=，

∵OD=OA，DH=HG，

∴AG=2OH=，

∵∠ADG+∠ACG=180°，∠ACM+∠ACG=180°，

∴∠ADG=∠ACM，

∴cos∠ADG=cos∠ACM，

∴，

∴，

∴CM=，

在Rt△ACM中，AM==，

在Rt△AGM中，GM==，

∴CG=GM-CM=．