Question

如图：等圆⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，⊙O₁经过⊙O₂的圆心，顺次连接A、O₁、B、O₂．

（1）求证：四边形AO₁BO₂是菱形；
（2）过直径AC的端点C作⊙O₁的切线CE交AB的延长线于E，连接CO₂交AE于D，求证：CE=2DO₂；
（3）在（2）的条件下，若，求的值．

Answer 1

（1）根据等圆的性质可得，即可证得结论；（2）根据菱形的性质可得∠=∠，根据CE是⊙O₁的切线，AC是⊙O₁的直径可得∠=∠=90°，即可证得△ACE∽△AO₂D，根据相似三角形的性质求解即可；（3）

试题分析：（1）根据等圆的性质可得，即可证得结论；
（2）根据菱形的性质可得∠=∠，根据CE是⊙O₁的切线，AC是⊙O₁的直径可得∠=∠=90°，即可证得△ACE∽△AO₂D，根据相似三角形的性质求解即可；
（３）根据菱形的性质可得∥，即可证得△ACD∽△，再根据相似三角形的性质及求解即可．
（1）∵⊙O₁与⊙O₂是等圆,
∴
∴四边形是菱形；
（2）∵四边形是菱形  
∴∠=∠
∵CE是⊙O₁的切线，AC是⊙O₁的直径
∴∠=∠=90°
∴△ACE∽△AO₂D 
∴，即；
（３）∵四边形是菱形
∴∥ 
∴△ACD∽△
∴  
∴
∵    
∴． 
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．