Question

如图，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，线段AB长为6，将线段AB绕A点顺时针旋转60°，B点恰好落在x轴上点D处，点C在第一象限内且四边形ABCD是平行四边形．

（1）求点C、点D的坐标；
（2）如图②，若半径为1的⊙P从点A出发，沿A—B—D—C以每秒4个单位长的速度匀速移动，同时⊙P的半径以每秒1个单位长的速度匀速增加，当运动到点C时运动停止，运动时间为t秒，试问在整个运动过程中⊙P与y轴有公共点的时间共有几秒？
（3）在（2）的条件下，当⊙P在BD上运动时，过点C向⊙P作一条切线，t为何值时，切线长有最小值，最小值为多少？

Answer 1

（1）C(6，3)，D(3，0)；（2）或4或；（3），

试题分析：（1）先解Rt△ABO即可求得AO、BO的长，再根据旋转的性质即可求的结果；
（2）分0≤t≤1.5、1.5≤t≤3、3≤t≤4.5三种情况，根据直线与圆的位置关系求解即可；
（3）先根据题意表示出PH=|9?4t|，PQ=t+1，再根据勾股定理即可表示出QC关于t的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可.
（1）∵AB=6，∠BAO=60°
∴AO=3，BO=3，
∵点C在第一象限内且四边形ABCD是平行四边形
∴C(6，3)，D(3，0) ；
（2）①t₁=（0≤t≤1.5），
t₂=4（1.5≤t≤3）舍去
t₃=4（3≤t≤4.5）  
t=t₃-t₁=4?=
（3）由题意可PH=|9?4t|，PQ=t+1 
QC² =PQ²+PC² =(9-4t) ²+27- (t+1) ²=15t²-74t+107 =15（t?）²+
∵1.5≤t≤3  
∴当t=时，QC² =，QC=.

点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．