题目内容
如图,从⊙O外一点A作⊙O的切线AB,AC,切点分别为B,C,⊙O的直径BD为6,连结CD,AO.
(1)求证:CD∥AO;
(2)求CD•AO的值;
(3)若AO=2CD,求劣弧BC的长.
(1)求证:CD∥AO;
(2)求CD•AO的值;
(3)若AO=2CD,求劣弧BC的长.
(1)证明:
连接OC,
∵AC、AB分别切⊙O于C、B,
∴∠ACO=∠ABO=90°,∠CAO=∠BAO,
∵∠COA+∠ACO+∠CAO=180°,∠BOA+∠BAO+∠OBA=180°,
∴∠COA=∠BOA,
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC,
∵∠COA+∠BOA=∠OCD+∠ODC,
∴2∠ODC=2∠AOB,
即∠D=∠AOB,
∴CD∥AO.
(2)
连接BC,
∵BD是⊙O直径,
∴∠DCB=∠ABO=90°,
∵∠D=∠AOB,
∴△BCD∽△ABO,
∴
=
,
∴CD•AO=DB•BO=6×3=18.
(3)∵CD•AO=18,AO=2CD,
∴CD=3,
∵OC=3=OD=3,
∴△COD是等边三角形,
∴∠OCD=∠ODC=60°,
∴∠COB=120°,
∴弧BC的长是
=2π.
连接OC,
∵AC、AB分别切⊙O于C、B,
∴∠ACO=∠ABO=90°,∠CAO=∠BAO,
∵∠COA+∠ACO+∠CAO=180°,∠BOA+∠BAO+∠OBA=180°,
∴∠COA=∠BOA,
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC,
∵∠COA+∠BOA=∠OCD+∠ODC,
∴2∠ODC=2∠AOB,
即∠D=∠AOB,
∴CD∥AO.
(2)
连接BC,
∵BD是⊙O直径,
∴∠DCB=∠ABO=90°,
∵∠D=∠AOB,
∴△BCD∽△ABO,
∴
DC |
DB |
BO |
AO |
∴CD•AO=DB•BO=6×3=18.
(3)∵CD•AO=18,AO=2CD,
∴CD=3,
∵OC=3=OD=3,
∴△COD是等边三角形,
∴∠OCD=∠ODC=60°,
∴∠COB=120°,
∴弧BC的长是
120π•3 |
180 |
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