题目内容
【题目】平面直角坐标系中,是等边三角形,点
,点
,点
是
边上的一个动点(与点
、
不重合).直线
是经过点
的一条直线,把
沿直线
折叠,点
的对应点是点
.
(1)如图①,当时,若直线
,求点
的坐标;
(2)如图②,当点在
边上运动时,若直线
,求
的面积;
(3)当时,在直线
变化过程中,求
面积的最大值(直接写出结果即可).
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(1)设直线交
于点
,连接
交
于
,再证明
是等边三角形;然后再根据
,
、
关于
对称,得到
,
;利用解直角三角形可以求得OD的长;过点
作
于点
,在
中,解直角三角形可得OF和
的长即可解答;
(2)连接,根据对称的性质和直线
可得
,最后根据
解答即可;
(3)作O’P⊥AB时,垂足为E,然后解三角形和线段的和差求得O’E,最后在运用三角形的面积公式求解即可.
解:(1)设直线交
于点
,连接
交
于
,
∵,
∴,
,
∴是等边三角形,
∵,
,
关于
对称,
∴,
∵,
∴,
过点作
于点
,在
中,可得
,
,
∴点的坐标为
(2)连接,
∵,
关于直线
对称,
∴直线
,
∵直线,
∴,
∴.
(3)当O’P⊥AB时,垂足为E,的面积最大
如图:作O’P⊥AB时,垂足为E
在Rt△BPE中,PA=2.∠B=60°
∴PE=PA·sin60°=
∴O’E=6+.
∴面积的最大值:
.

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