Question

【题目】已知：点M是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点M不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BM作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．

⑴如图1,当点M与点O重合时，OE与OF的数量关系是 ．

⑵直线BM绕点B逆时针方向旋转，且∠OFE=30°．

①如图2，当点M在线段AC上时，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请你写出来并加以证明；

②如图3，当点M在线段AC的延长线上时，请直接写出线段CF、AE、OE之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）OE=OF；（2）①，详见解析；②CF=OE-AE

【解析】

（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．
（2）①图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点N，只要证明△EOA≌△NOC，△OFN是等边三角形，即可解决问题．
②图3中的结论为：CF=OE-AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．

解：⑴∵

∴AE∥CF

∴ 又,OA=OC

∴△AOE≌△COF.

∴OE=OF．

⑵①

延长EO交CF延长线于N．

∵

∴AE∥CF

∴ 又,OA=OC

∴△OAE≌△OCN

∴AE=CN,OE=ON 又,

∴OF=ON=OE,

∴OF=FN=ON=OE,又AE=CN

∴CF=AE-OE

②CF=OE-AE,证明如下：

延长EO交FC的延长线于点G

∵

∴AE∥CF

∴∠G=∠AEO,∠OCG=∠EA0，

又∵AO=OC，

∴△OAE≌△OCG.

∴AE=CG,OG=OE.

又,

∴OF=OG=OE,

∴△OGF是等边三角形，

∴FG=OF=OE.

∴CF=OE-AE.