题目内容
【题目】如图，抛物线
与
轴负半轴交于点
，与轴正半轴交于点
，与
轴负半轴交于点
，
，
，
．
（1）求点的坐标和抛物线的函数关系式；
（2）点
是
上一点（不与点、
重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点
，交
于点
，当
时，求点的坐标；
（3）设抛物线的对称轴
交轴于点
，在（2）的条件下，点
是抛物线对称轴上一点，点
是坐标平面内一点，是否存在点、，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）存在， 
，
，
【解析】
(1)先证明
，利用相似三角形的性质得到
，求出C点的坐标，再用待定系数法即可得到抛物线的函数关系式；
(2) 设直线
函数关系式为
，用待定系数法求出直线函数关系式，再假设D点的坐标，根据题意得到
求解即可得到答案；
(3)根据勾股定理得到
，再分情况讨论即可得到答案．
解（1）由题意，
，
，
，
∵
∴
，
，
∴
∴
∴
∴
∴
分别把
，
，代入
得
解得，
，
，
∴
（2）设直线函数关系式为
代入，得，
解得，
，
∴
设
∴
，
∴
，
由题意
解得，
，
（舍去）
将
代入，得
∴
（3）存在
当以
、
、
、
为顶点的四边形是菱形时，
是等腰三角形．
由题意，
，
，
在
中，由勾股定理的，
①
时，
∵点到直线
的距离是
∴此时点不存在．
②
时，如图
作
于点
，
∴
，
在
中，由勾股定理得，
∴
或
∴
，
③当
时，
即
设
，
解得
∴
综上，，，
此时，，，．
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