Question

【题目】如图，在正方形中，点分别是上的两个动点(不与点重合)，且，延长到，使，连接．

（1）依题意将图形补全；

（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点运动过程中，始终有．经过与同学们充分讨论，形成了几种证明的想法：

想法一：连接，证明是等腰直角三角形；

想法二：过点作的垂线，交的延长线于，可得是等腰直角三角形，证明；

……

请参考以上想法，帮助小华证明．(写出一种方法即可)

Answer 1

【答案】（1）图见解析；（2）想法一的证明见解析；想法二的证明见解析．

【解析】

（1）先分别在上取点，使得，再延长到，使，然后连接即可；

（2）想法一：先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，，再根据角的和差、等量代换可得，从而可得是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得，最后根据垂线平分线的判定与性质可得，由此即可得证；

想法二：先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，从而可得是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质得出，由此即可得证．

（1）先分别在上取点，使得，再延长到，使，然后连接，补全图形如下所示：

（2）想法一：如图，连接

四边形ABCD是正方形

在和中，

，

，即

是等腰直角三角形

又

是线段FG的垂直平分线

；

想法二：如图，过点作的垂线，交的延长线于，连接HF

四边形ABCD是正方形

在和中，

是等腰直角三角形

，即

，即

在和中，

．