Question

【题目】如图，在中，，点、 点分别在线段和线段上， 平分．

如图1，求证：．

如图2，若．求证：．

在问的条件下，如图3， 在线段上取一点，使.过点作交于点，作交于点，连接，交于点，连接，交于点，若,求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DT=-1

【解析】

（1）先根据∠AED+∠ADB=180°，∠ADB+∠ADC=180°，得出∠AED=∠ADC，进而得到△ADE∽△ACD，即可得出∠ADE=∠C=90°；

（2）先设BE=x，则AE=2x，通过证明△ADB∽△DEB，列比例式可得BD的长，根据三角函数可得∠EAD=∠CAD=30°，可得结论；

（3）如图3，过E作ER⊥BC于R，延长ED、AC交于点M，过G作GN⊥EM于N，先根据AE=2BE，可得BE和ED的长，设FL=x，根据AF=AL+FL列方程可得x的值，表示KD、KN和GN的长，根据DT∥NG，得△KDT∽△KNG，列比例式可得DT的长．

证明：（1）如图1，∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠AED+∠ADB=180°，∠ADB+∠ADC=180°，

∴∠AED=∠ADC，

∴△ADE∽△ACD，

∴∠ADE=∠C=90°，

∴AD⊥DE；

（2）如图2，设BE=x，则AE=2x，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠AED+∠ADB=180°，

∠AED+∠BED=180°，

∴∠ADB=∠BED，

∵∠B=∠B，

∴△ADB∽△DEB，

∴，

∴，

∴BD2=3x2，

∴BD=x，

∴，

∴∠AED=60°，

∴∠EAD=∠CAD=30°，

∴∠B=30°，

∴AB=2AC；

（3）如图3，过E作ER⊥BC于R，延长ED、AC交于点M，过G作GN⊥EM于N，

∵AE=2+2，AE=2BE，

∴BE=+1，

∵∠ADC=60°，∠ADE=90°，

∴∠EDB=∠B=30°，

∴BE=DE=+1，

∴BD=2BR，

Rt△BER中，ER=BE=BR=，

∴BD=2BR=3+=AD=AF，

Rt△ADC中，∠DAC=30°，

∴DC=AD=，CM=，

DM=+1，

Rt△EFK中，EF=AE-AF=2+2-（+3）=-1，

∵∠AEK=60°，

∴EK=2EF=2-2，

∴DK=+1-(2-2)=3-，

∵∠AFH=45°，∠FAH=30°=∠GAH，

∴∠AHG=75°，∠AGH=180°-30°-75°=75°，

∴AG=AH，

过H作HL⊥AF于L，

∵∠LFH=45°，

∴FL=HL，

设FL=x，则HL=x，AH=AG=2x，AL=x，

∵AL+FL=AF，

∴x+x=3+，

x=，

∴AG=2，

∴CG=AC-AG=AB-AG=(2+2++1)-2，

∴GM=CG+CM=2，

R△GNM中，∠M=60°，∠NGM=30°，

∴MN=GM=1，

∴DN=DM-MN=+1-1=，GN=，

∴KN=KD+DN=3-+=3，

∵DT//NG，

∴△KDT∽△KNG，

∴，

∴，

∴DT=-1．