Question

如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），且过A（-2，0），B（-3，3），O（0，0）可得

4a-2b+c=0 9a-3b+c=3 c=0

，
解得

a=1 b=2 c=0

．
故抛物线的解析式为y=x²+2x；

（2）①当AO为边时，
∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴DE=AO=2，
则D在x轴下方不可能，
∴D在x轴上方且DE=2，
则D₁（1，3），D₂（-3，3）；
②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分，
∵点E在对称轴上，对称轴为直线x=-1，
由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即D₃（-1，-1）
故符合条件的点D有三个，分别是D₁（1，3），D₂（-3，3），D₃（-1，-1）；

（3）存在，
如图：∵B（-3，3），C（-1，-1），根据勾股定理得：
BO²=18，CO²=2，BC²=20，
∴BO²+CO²=BC²．
∴△BOC是直角三角形．
假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，
设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x²+2x，
①若△AMP∽△BOC，则

AM

BO

=

PM

CO

，
即 x+2=3（x²+2x）
得：x₁=

1

3

，x₂=-2（舍去）．
当x=

1

3

时，y=

7

9

，即P（

1

3

，

7

9

）．
②若△PMA∽△BOC，则

AM

CO

=

PM

BO

，
即：x²+2x=3（x+2）
得：x₁=3，x₂=-2（舍去）
当x=3时，y=15，即P（3，15）．
故符合条件的点P有两个，分别是P（

1

3

，

7

9

）或（3，15）．