Question

已知抛物线y=-

1

4

x2+bx+c与x轴交于A、B，与y轴交于点C，连结AC、BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连结BF．若S_△OBC=8，AC=BC
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：BF⊥AB；
（3）求∠FBE；
（4）当D点沿x轴正方向移动到点B时，点E也随着运动，则点E所走过的路线长是______．

Answer 1

（1）如图，∵AC=BC，
∴该抛物线的对称轴是y轴，则b=0．
∴C（0，c），B（

4c

，0）．
∵S_△OBC=8，
∴

1

2

OC•OB=

1

2

×c×

4c

=8，解得c=4（c＞0）．
故该抛物线的解析式为y=-

1

4

x²+4；

（2）证明：由（1）得到抛物线的解析式为y=-

1

4

x²+4；
令y=0，得x₁=4，x₂=-4，
∴A（-4，0），B（4，0），
∴OA=OB=OC，
∴△ABC是等腰直角三角形；
如图，又∵四边形CDEF是正方形，
∴AC=BC，CD=CF，∠ACD=∠BCF，
在△ACD和△BCF中

AC=BC ∠ACD=∠BCF CD=CF

，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴∠CBF=∠CAD=45°，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，
∴BF⊥AB；

（3）如图，连接BE，过点E作EM⊥x轴于点M．
易证△ODC≌△DME，则DM=OC=4，OD=EM．
∵OD=OB-BD=4-BD=DM-BD=BM，
∴BM=EM．
∵∠EMB=90°，
∴∠MBE=∠MEB=45°；
由（2）知，BF⊥AB，
∴∠FBE=∠FBM-∠MBE=45°；

（4）由（3）知，点E在定直线上，当点D沿x轴正方向移动到点B时，点E所走过的路程长等于BC=4

2

．故答案是：4

2

．