题目内容

如图,抛物线:y=
1
2
x2+bx+c
与x轴交于A、B(A在B左侧),顶点为C(1,-2),
(1)求此抛物线的关系式;并直接写出点A、B的坐标.
(2)求过A、B、C三点的圆的半径.
(3)在抛物线上找点P,在y轴上找点E,使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形,求点P、E的坐标.
(1)∵抛物线y=
1
2
x2+bx+c的顶点为C(1,-2),
∴-
b
2a
=-
b
1
2
=1,
解得b=-1,
4ac-b2
4a
=
1
2
c-(-1)2
1
2
=-2,
解得c=-
3
2

∴抛物线解析式为y=
1
2
x2-x-
3
2

令y=0,则
1
2
x2-x-
3
2
=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴点A、B的坐标为:A(-1,0)、B(3,0);

(2)∵A(-1,0)、B(3,0)、C(1,-2),
∴AB=3-(-1)=4,
AC=
(-1-1)2+[0-(-2)]2
=2
2

BC=
(3-1)2+[0-(-2)]2
=2
2

∴AB2=16,AC2+BC2=8+8=16,
∴AB2=AC2+BC2
∴△ABC是直角三角形,AB是直径,
故半径为2;

(3)①当AB是平行四边形的边时,PE=AB=4,且点P、E的纵坐标相等,
∴点P的横坐标为4或-4,
∴y=
1
2
×42-4-
3
2
=
5
2

或y=
1
2
×42+4-
3
2
=
21
2

∴点P、E的坐标为P1(4,
5
2
)、E1(0,
5
2
)或P2(-4,
21
2
)、E2(0,
21
2
),
②如图,当AB是平行四边形的对角线时,PE平分AB,
∴PE与x轴的交点坐标D(1,0),
过点P作PF⊥AB,则OD=FD,
∴点F的坐标为(2,0),
∴点P的横坐标为2,
y=
1
2
×22-2-
3
2
=-
3
2

∴点P的纵坐标为
3
2

∴点P、E的坐标为P3(2,-
3
2
)、E3(0,
3
2
),
综上所述,点P、E的坐标为:P1(4,
5
2
)、E1(0,
5
2
)或P2(-4,
21
2
)、E2(0,
21
2
)或P3(2,-
3
2
)、E3(0,
3
2
).
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