题目内容

如图，已知二次函数y=-x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
（1）∵OB=OC=3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴
0=-9+3b+c
3=c
，
解得
b=2
c=3
1分
∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3；

（2）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，M（1，4）
设直线MB的解析式为y=kx+n，
则有
4=k+n
0=3k+n

解得
k=-2
n=6

∴直线MB的解析式为y=-2x+6
∵PQ⊥x轴，OQ=m，
∴点P的坐标为（m，-2m+6）
S四边形ACPQ=S△AOC+S梯形PQOC=
1
2
AO•CO+
1
2
（PQ+CO）•OQ（1≤m≤3）
=
1
2
×1×3+
1
2
（-2m+6+3）•m=-m2+
9
2
m+
3
2
；

（3）线段BM上存在点N（
7
5
，
16
5
），（2，2），（1+
10
5
，4-
2
10
5
）使△NMC为等腰三角形
CM=
(1-0)2+(4-3)2
=
2
，CN=
x2+(-2x+3)2
，MN=
(x-1)2+(-2x+2)2

①当CM=NC时，
x2+(-2x+3)2
=
2
，
解得x1=
7
5
，x2=1（舍去）
此时N（
7
5
，
16
5
）
②当CM=MN时，
(x-1)2+(-2x+2)2
=
2
，
解得x1=1+
10
5
，x2=1-
10
5
（舍去），
此时N（1+
10
5
，4-
2
10
5
）
③当CN=MN时，
x2+(-2x+3)2
=
(x-1)2+(-2x+2)2

解得x=2，此时N（2，2）．
练习册系列答案
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5
．
（1）求点M的坐标；
（2）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
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已知抛物线y=-
1
4
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（2）求证：BF⊥AB；
（3）求∠FBE；
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已知直线y=-
3
x+
3
与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一点，如果∠ABC=∠ACB，
求：（1）点C的坐标；
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A．y=x+1B．y=x-1C．y=x2-x+1D．y=x2-x-1

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