题目内容

如图,已知抛物线y=ax2+b经过点A(4,4)和点B(0,-4).C是x轴上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点C在以AB为直径的圆上,求点C的坐标;
(3)将点A绕C点逆时针旋转90°得到点D,当点D在抛物线上时,求出所有满足条件的点C的坐标.
(1)∵抛物线y=ax2+b的图象经过点A(4,4)和点B(0,-4),
16a+b=4
b=-4
,解得:
a=
1
2
b=-4

∴抛物线的解析式为:y=
1
2
x2-4
;…(3分)

(2)过点A作AE⊥x轴于E,连接AB交x轴于点M,
OB=AE=4,∠MOB=∠AEM=90°,∠OMB=∠AME,
∴在△OMB与△EMA中,
OB=AE
∠MOB=∠AEM
∠OMB=∠AME

∴△OMB≌△EMA,
∴MB=MA,OM=ME=
1
2
OE=2

∴以M为圆心,MB为半径的⊙M,即为以AB为直径的圆.
由勾股定理得MB=
OM2+OB2
=
22+42
=2
5

∴点C的坐标为(2-2
5
,0)
(2+2
5
,0)


(3)如图2,当点C在点(4,0)的右侧时,
作AE⊥x轴于E,DF⊥x轴于F,
∵△ACD为等腰直角三角形,
∴AC=DC,∠ACD=90°,即∠ACF+∠DCF=90°,
∵∠FDC+∠DCF=90°,
∴∠ACF=∠FDC,
又∵∠DFC=∠AEC=90°,
在△DFC与△CEA中,
∠ACF=∠FDC
AC=DC
∠DFC=∠AEC

∴△DFC≌△CEA,
∴EC=DF,FC=AE,
∵A(4,4),
∴AE=OE=4,
∴FC=OE,即OF+EF=CE+EF,
∴OF=CE,
∴OF=DF,
当点C与点(4,0)的重合时,点D与原点重合;
当点C在点(4,0)的左侧时,同理可得OF=DF;
∴综上所述,点D在直线y=-x的图象上.
设点C的坐标为(m,0),
则点D的坐标为(m-4,4-m),(13分)
又∵点D在抛物线y=
1
2
x2-4
的图象上,
4-m=
1
2
(m-4)2-4

解得:m1=0,m2=6,
∴当点C的坐标为(6,0)或(0,0)时,
点D落在抛物线y=
1
2
x2-4
的图象上.
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