Question

某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由

Answer 1

解：（1）w＝（x－20）（250－10x＋250）＝－10x²＋700x－10000。
（2）∵w＝－10x²＋700x－10000＝－10（x－35）²＋2250
∴当x＝35时，w有最大值2250，
即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大。
（3）甲方案利润高。理由如下：
甲方案中：20＜x≤30，函数w＝－10（x－35）²＋2250随x的增大而增大，
∴当x=30时，w有最大值，此时，最大值为2000元。
乙方案中：，解得x的取值范围为：45≤x≤49。
∵45≤x≤49时，函数w＝－10（x－35）²＋2250随x的增大而减小，
∴当x=45时，w有最大值，此时，最大值为1250元。
∵2000＞1250，∴甲方案利润更高

解析试题分析：（1）根据利润=（单价-进价）×销售量，列出函数关系式即可。
（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值。
（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较。