Question

如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x²+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；
（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．

Answer 1

（1）y=﹣x²﹣2x+3
（2）点F的坐标为（，）
（3）当t为秒或2秒或3秒或秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形。

解析试题分析：（1）先由直线AB的解析式为y=x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=﹣x²+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式。
∵y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当y=0时，x=﹣3，即A点坐标为（﹣3，0），当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3）。
将A（﹣3，0），B（0，3）代入y=﹣x²+bx+c，得
，解得。
∴抛物线的解析式为y=﹣x²﹣2x+3。
（2）设第三象限内的点F的坐标为（m，﹣m²﹣2m+3），运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D的坐标，再设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，根据S_△AEF=S_△AEG+S_△AFG﹣S_△EFG=3，列出关于m的方程，解方程求出m的值，进而得出点F的坐标。
如图1，设第三象限内的点F的坐标为（m，﹣m²﹣2m+3），

则m＜0，﹣m²﹣2m+3＜0。
∵y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4，
∴对称轴为直线x=﹣1，顶点D的坐标为（﹣1，4）。
设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，
则G（﹣1，0），AG=2。
∵直线AB的解析式为y=x+3，
∴当x=﹣1时，y=﹣1+3=2。∴E点坐标为（﹣1，2）。
∵S_△AEF=S_△AEG+S_△AFG﹣S_△EFG
=×2×2+×2×（m²+2m﹣3）﹣×2×（﹣1﹣m）=m²+3m，
∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m²+3m=3，
解得m₁=，m₂=（舍去）。
当m=时，﹣m²﹣2m+3=﹣m²﹣3m+m+3=﹣3+m+3=m=。
∴点F的坐标为（，）。
（3）设P点坐标为（﹣1，n），．
∵B（0，3），C（1，0），∴BC²=1²+3²=10。
分三种情况：
①如图2，如果∠PBC=90°，那么PB²+BC²=PC²，

即（0+1）²+（n﹣3）²+10=（1+1）²+（n﹣0）²，
化简整理得6n=16，解得n=。
∴P点坐标为（﹣1，）。
∵顶点D的坐标为（﹣1，4），
∴PD=4﹣=。
∵点P的速度为每秒1个单位长度，∴t₁=秒。
②如图3，如果∠BPC=90°，那么PB²+PC²=BC²，

即（0+1）²+（n﹣3）²+（1+1）²+（n﹣0）²=10，
化简整理得n²﹣3n+2=0，解得n=2或1。
∴P点坐标为（﹣1，2）或（﹣1，1），
∵顶点D的坐标为（﹣1，4），
∴PD=4﹣2=2或PD=4﹣1=3。
∵点P的速度为每秒1个单位长度，∴t₂=2秒，t₃=3秒。
③如图4，如果∠BCP=90°，那么BC²+PC²=PB²，

即10+（1+1）²+（n﹣0）²=（0+1）²+（n﹣3）²，
化简整理得6n=﹣4，解得n=。
∴P点坐标为（﹣1，）。
∵顶点D的坐标为（﹣1，4），∴PD=4+=。
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t₄=秒。
综上所述，当t为秒或2秒或3秒或秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形。