Question

已知抛物线 a≠0）的对称轴是直线l，顶点为点M．若自变量x和函数值y₁的部分对应值如下表所示：

x	…	―1	0	3	…
	…	0		0	…

（1）求y₁与x之间的函数关系式；
（2）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y₂）．
①求y₂与x之间的函数关系式；
②当x取任意实数时，若对于同一个x，有y₁＜y₂恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵抛物线经过点（0，），∴c=。∴。
∵点（－1，0）、（3，0）在抛物线上，
∴，解得。
∴y₁与x之间的函数关系式为：。
（2）∵，∴。
∴直线l为x=1，顶点M（1，3）．
①由题意得，t≠3，
如图，记直线l与直线l′交于点C（1，t），

当点A′与点C不重合时，
∵由已知得，AM与BP互相垂直平分，
∴四边形ANMP为菱形。∴PA∥l。
又∵点P（x，y₂），∴点A（x，t）（x≠1）。∴。
过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q（1，y₂），∴，。
在Rt△PQM中，∵，即。
整理得，，即。
当点A与点C重合时，点B与点P重合，
∴P（1，）。∴P点坐标也满足上式。
∴y₂与x之间的函数关系式为（t≠3）。
②根据题意，借助函数图象：
当抛物线y₂开口方向向上时，6－2t＞0，即t＜3时，抛物线y₁的顶点M（1，3），抛物线y₂的顶点（1，），
∵3＞，∴不合题意。
当抛物线y₂开口方向向下时，6－2t＜0，即t＞3时，
，
若3t－11≠0，要使y₁＜y₂恒成立，只要抛物线开口方向向下，且顶点（1，）在x轴下方，
∵3－t＜0，只要3t－11＞0，解得t＞，符合题意。
若3t－11=0，，即t=也符合题意。
综上所述，可以使y₁＜y₂恒成立的t的取值范围是t≥。

解析试题分析：（1）先根据物线经过点（0， ）得出c的值，再把点（－1，0）、（3，0）代入抛物线y₁的解析式即可得出y₁与x之间的函数关系式。
（2）先根据（I）中y₁与x之间的函数关系式得出顶点M的坐标．
①记直线l与直线l′交于点C（1，t），当点A′与点C不重合时，由已知得，AM与BP互相垂直平分，故可得出四边形ANMP为菱形，所以PA∥l，再由点P（x，y2）可知点A（x，t）（x≠1），所以，过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q（1，y₂），故，，在Rt△PQM中，根据勾股定理即可得出y2与x之间的函数关系式，再由当点A与点C重合时，点B与点P重合可得出P点坐标，故可得出y₂与x之间的函数关系式。
②据题意，借助函数图象：
当抛物线y₂开口方向向上时，可知6－2t＞0，即t＜3时，抛物线y₁的顶点M（1，3），抛物线y₂的顶点（1， ），由于3＞，所以不合题意。
当抛物线y₂开口方向向下时，6－2t＜0，即t＞3时，求出的值。若3t－－11≠0，要使y₁＜y₂恒成立，只要抛物线方向向下及且顶点（1， ）在x轴下方，因为3－t＜0，只要3t－11＞0，解得t＞，符合题意；若3t－11=0，，即t=也符合题意。