Question

（2013年广东梅州10分）如图，已知抛物线y=2x²﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）写出以A，B，C为顶点的三角形面积；
（2）过点E（0，6）且与x轴平行的直线l₁与抛物线相交于M、N两点（点M在点N的左侧），以MN为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点做平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P的坐标；
（3）过点D（m，0）（其中m＞1）且与x轴垂直的直线l₂上有一点Q（点Q在第一象限），使得以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长（用含m的代数式表示）．

Answer 1

解：（1）∵y=2x²﹣2，∴当y=0时，2x²﹣2=0，x=±1。
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（1，0），AB=2。
又当x=0时，y=﹣2，∴点C的坐标为（0，﹣2），OC=2。
∴S_△ABC=AB•OC=×2×2=2。
（2）将y=6代入y=2x²﹣2，得2x²﹣2=6，x=±2，
∴点M的坐标为（﹣2，6），点N的坐标为（2，6），MN=4。
∵平行四边形的面积为8，∴MN边上的高为：8÷4=2。
∴P点纵坐标为6±2。
①当P点纵坐标为6+2=8时，2x²﹣2=8，x=±。
∴点P的坐标为（，8）或（，8）。
②当P点纵坐标为6﹣2=4时，2x²﹣2=4，x=±，
∴点P的坐标为（，4）或（，4）。
综上所述，当平行四边形的面积为8时，点P的坐标为（，8）或（，8）或（，4）或（，4）。
（3）∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣2），∴OB=1，OC=2。
∵∠QDB=∠BOC=90°，
∴以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况：
①OB与BD边是对应边时，△OBC∽△DBQ，则，即，
解得DQ=2（m﹣1）=2m﹣2。
②OB与QD边是对应边时，△OBC∽△DQB，则，即，
解得。
综上所述，线段QD的长为2m﹣2或。

解析