题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1 ， 0），C（x2 ， 0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；
（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
解：由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根，
∴x1+x2=8，
由 
解得： 
∴B（2，0）、C（6，0）
则4m﹣16m+4m+2=0，
解得：m= 
，
∴该抛物线解析式为：y= 
（2）
解：可求得A（0，3）
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵ 
∴ 
∴直线AC的解析式为：y=﹣ 
x+3，
要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论：
①当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣ 
），
∵P（t， 
），∴PF= 
，
∴S△APC=S△APF+S△CPF
= 
= 
= 
，
此时最大值为： 
，
②当6＜t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣ ），
∵P（t， ），∴PM= 
，
∴S△APC=S△APM﹣S△CPM= 
= 
= 
，
当t=8时，取最大值，最大值为：12，
综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12
（3）
解：方法一：
如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，
Q（t，3），P（t， ），
① 当2＜t＜8时，AQ=t，PQ= 
，
若：△AOB∽△AQP，则： 
，
即： 
，
∴t=0（舍），或t= 
，
若△AOB∽△PQA，则： 
，
即： 
，
∴t=0（舍）或t=2（舍），
②当t＞8时，AQ′=t，PQ′= 
，
若：△AOB∽△AQP，则： 
，
即： 
，
∴t=0（舍），或t= 
，
若△AOB∽△PQA，则： 
，
即： 
，
∴t=0（舍）或t=14，
∴t= 或t= 或t=14．
方法二：
若以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似，
则 
或 
，
设P（t， ）（t＞2）
∴Q（t，3）
② | 
|= 
，∴| 
|= ，∴t1=2（舍），t2=14，
②| |= 
，∴| |= ，∴t1= ，t2= ，
综上所述：存在：t1= ，t2= ，t3=14．
【解析】（1）认真审题，直接根据题意列出方程组，求出B，C两点的坐标，进而可求出抛物线的解析式；（2）分0＜t＜6时和6＜t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；（3）以点D为分界点，分2＜t≤8时和t＞8时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．
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