Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F,切点为G，连接AG交CD于K．

（1）求证：KE=GE；
（2）若AC∥EF，试判断线段KG、KD、GE间的相等
数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．

Answer 1

（1）由∠KGE=∠AKH=∠GKE可证KE=GE
（2）由△GKD∽△EGK可证得KG²=KD•GE
（3）FG=

试题分析：解：（1）证明：如答图1，连接OG．

∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°．………1分
∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°．
又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG． ……………2分
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE．∴KE=GE．………3分
（2）=KD·GE．理由如下：
连接GD，如答图2所示．

∵AC∥EF，∴∠E=∠C．　　　…………………４分
又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠AGD．
∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK．…………5分
∴．∴KG²=KD•GE．…………………6分
（3）连接OG，OC，如答图3所示．

由（2）∠E=∠ACH，∴sinE=sin∠ACH=．………7分
∴可设AH=3t，则AC=5t，CH=4t．
∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t．∴HK=CK﹣CH=t．
在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH²+HK²=AK²，
即（3t）²+t²=，解得t=．…………………8分
设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，
由勾股定理得：OH²+CH²=OC²，即（﹣3t）²+（4t）²=²．
解得．    ………………………………………………………9分
∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形．  
在Rt△OGF中，OG==，tan∠OFG=tan∠CAH=＝，
∴FG=．     ……………………………………10分
点评：此题比较综合，把几个知识点综合起来考察，主要要求学生对学过知识的提取与运用。