Question

已知：图1为一锐角是30°的直角三角尺，其边框为透明塑料制成(内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等)．
操作：将三角尺移向直径为4cm的⊙O，它的内Rt△ABC的斜边AB恰好等于⊙O的直径，它的外Rt△A′B′C′的直角边A′C′ 恰好与⊙O相切(如图2)。

思考：(1) 求直角三角尺边框的宽。
(2) 求BB′C′+CC′B′的度数。
(3) 求边B′C′的长。

Answer 1

(1) 2   (2) 75°  (3)

试题分析：（1）如图2所示，将三角尺移向直径为4cm的⊙O，它的内Rt△ABC的斜边AB恰好等于⊙O的直径，即AB=4；图1为一锐角是30°的直角三角尺，内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等，，根据直角三角形的性质，所以BC=AB=2
（2）因为内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等，它的外Rt△A′B′C′的直角边A′C′ 恰好与⊙O相切(如图2)。
由题意得BB′是的角平分线，CC′是的角平分线，而，所以；BB′C′+CC′B′=
（3）过O点作OE⊥A1C1，过B点、C点作BE⊥B1C1，CF⊥B1C1于E、F两点

由题意知OA=OD=2，，在直角三角形ABC中BC==2，四边形O1DC1F、BCEF是矩形，所以FC1=O1D，FC1=；EF=BC=2；BB′是的角平分线，，所以B1E=BB1==，所以B′C′的长=1+2+=3+
点评：本题考查圆、矩形，三角函数，要求掌握圆的性质，矩形的性质，三角函数的定义，本题属中等难度题