题目内容

如图,已知抛物线C经过原点,对称轴x=-3与抛物线相交于第三象限的点M,与x轴相交于点N,且tan∠MON=3.
(1)求抛物线C的解析式;
(2)将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′,抛物线C′与x轴的另一交点为A,B为抛物线C′上横坐标为2的点.
①若P为线段AB上一动点,PD⊥y轴于点D,求△APD面积的最大值;
②过线段OA上的两点E,F分别作x轴的垂线,交折线O-B-A于点E1,F1,再分别以线段EE1,FF1为边作如图2所示的等边△EE1E2,等边△FF1F2.点E以每秒1个单位长度的速度从点O向点A运动,点F以每秒1个单位长度的速度从点A向点O运动.当△EE1E2与△FF1F2的某一边在同一直线上时,求时间t的值.
(1)∵对称轴MN的解析式为x=-3,∴ON=3,
∵tan∠MON=3,∴MN=9,
∴M(-3,-9),
∴设抛物线C的解析式为y=a(x+3)2-9,
∵抛物线C经过原点,∴0=a(0+3)2-9,解得a=1,
∴抛物线C的解析式为y=(x+3)2-9,即y=x2+6x;

(2)①∵将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′,
∴抛物线C与抛物线C′关于原点O对称,
∴抛物线C′的解析式为y=-x2+6x,
∵当y=0时,x=0或6,
∴点A的坐标为(6,0),
∵点B在抛物线C′上,且其横坐标为2,
∴y=-22+6×2=8,即点B的坐标为(2,8).
设直线AB的解析式为y=kx+b,
6k+b=0
2k+b=8

解得
k=-2
b=12

∴直线AB的解析式为y=-2x+12,
∵点P在线段AB上,
∴设点P的坐标为(p,-2p+12),
∴S△APD=
1
2
p(-2p+12)=-p2+6p=-(p-3)2+9,
∴当p=3时,△APD面积的最大值为9;
②如图,分别过点E2、F2作x轴的垂线,垂足分别为G、H.
根据(2)①知,直线OB解析式为y=4x,直线AB解析式为y=-2x+12.
当0<t≤2时,E1在OB上,F1在AB上,
OE=t,EE1=4t,EG=2
3
t,OG=t+2
3
t,GE2=2t,
OF=6-t,FF1=2t,HF=
3
t,OH=6-t-
3
t,HF2=t,
∴E(t,0),E1(t,4t),E2(t+2
3
t,2t),
F(6-t,0),F1(6-t,2t),F2(6-t-
3
t,t).
(Ⅰ)若EE1与FF1在同一直线上,由t=6-t,得t=3,不符合0<t≤2;
(Ⅱ)若EE2与F1F2在同一直线上,易求得直线EE2的解析式为y=
3
3
x-
3
3
t,
将F1(6-t,2t)代入,得2t=
3
3
×(6-t)-
3
3
t,
解得t=
3(
3
-1)
2

(Ⅲ)若E1E2与FF2在同一直线上,易求得E1E2的解析式为y=-
3
3
x+4t+
3
3
t,
将F(6-t,0)代入,得0=-
3
3
×(6-t)+4t+
3
3
t,
解得t=
6
3
-3
11

当2<t≤4时,E1,F1都在AB上,
OE=t,EE1=12-2t,EG=6
3
-
3
t,OG=6
3
-
3
t+t,GE2=6-t,
OF=6-t,FF1=2t,HF=
3
t,OH=6-t-
3
t,HF2=t,
∴E(t,0),E1(t,12-2t),E2(6
3
-
3
t+t,6-t),
F(6-t,0),F1(6-t,2t),F2(6-t-
3
t,t).
(Ⅰ)若EE1与FF1在同一直线上,由t=6-t,得t=3;
(Ⅱ)若EE2与F1F2在同一直线上,易求得直线EE2的解析式为y=
3
3
x-
3
3
t,
将F1(6-t,2t)代入,得2t=
3
3
×(6-t)-
3
3
t,
解得t=
3(
3
-1)
2
,不符合2<t≤4;
(Ⅲ)E1E2与FF2已知在0<t≤2时同一直线上,故当2<t≤4时,E1E2与FF2不可能在同一直线上;
当4<t<6时,由上面讨论的结果,△EE1E2与△FF1F2的某一边不可能在同一直线上.
综上所述,当△EE1E2有一边与△FF1F2的某一边在同一直线上时,t的值为
3(
3
-1)
2
6
3
-3
11
或3.
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