题目内容

如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，OC=4，AO=2OC，且抛物线对称轴为直线x=-3．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）己知矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在AC、BC上，设OD=m，矩形DEFG的面积为S，当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=
2
5
DF，求出此时点M的坐标；
（3）若点Q是抛物线上一点，且横坐标为-4，点P是y轴上一点，是否存在这样的点P，使得△BPQ是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）∵OC=4，
∴点C的坐标为（0，4）．
∴c=4，则抛物线解析式为y=ax2+bx+4．
∵AO=2OC，则AO=8，
∴点A的坐标为（-8，0）．
又∵抛物线对称轴为直线x=-3，
∴点B的坐标为（2，O）．
∴
0=64a-8b+4
0=4a+2b+4
，
解得
a=-
1
4
b=-
3
2
．
∴该抛物线的函数表达式为y=-
1
4
x2-
3
2
x+4．（3分）

（2）∵矩形DEFG中FG∥ED，设FG与y轴交于点H，
∴△CFH∽△CAO，△CHG∽△COB．
∴
FH
AO
=
CH
CO
=
HG
OB
，即
FH
8
=
m
2
．
∴FH=4m，故FG=5m．
设直线BC的解析式为：y=kx+b1，则
4=b1
0=3k+b1
，
解得
k=-2
b1=4
．
∴直线BC的解析式为y=-2x+4，则点G的坐标为（m，-2m+4）
∴S=FG×GD=5m（-2m+4）=-10（m-1）2+10（5分）
∵0≤m≤2，
∴当m=1时，S最大．此时OD=1，OE=4，∴DE=5．
过M作MM1⊥x轴于M1，则△MM1D∽△FED，
∴
MM1
FE
=
MD
DF
=
DM1
DE

∵FM=
2
5
DF，
∴
MD
DF
=
7
5
．则
MM1
2
=
DM1
5
=
7
5
．
∴MM1=
14
5
，DM1=7，则OM1=6．
∴此时点M的坐标为(-6，
14
5
)．（7分）

（3）存在．理由如下：
∵点Q在抛物线上，且横坐标为-4，
∴yQ=6，
∴点Q坐标为（-4，6），
设P的坐标为（0，n），在△BPQ中，
若∠BQP为直角，则PQ2+BQ2=BP2，
∴42+（n-6）2+62+（2+4）2=22+n2，
解得n=10，
此时点P的坐标为（0，10）．（8分）
若∠QBP为直角，则PQ2=BQ2+BP2，
∴42+（6-n）2=62+（2+4）2+22+n2，
解得n=-2，
此时点P的坐标为（0，-2）．（9分）
若∠QPB为直角，则BQ2=BP2+PQ2，
∴62+（2+4）2=42+（n-6）2+22+n2，
解得n1=3+
17
，n2=3-
17

此时点P的坐标为(0，3+
17
)或(0，3-
17
)．（11分）
综上所述，存在这样的点P，使得以△BPQ是直角三角形，所求的点P的坐标为：
（O，10）或（0，-2）或(0，3+
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)或(0，3-
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)．
练习册系列答案
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如图所示，对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B，O．
（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；
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已知，如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（0，-3），C（3，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，求sin∠BOD的值．
已知ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，抛物线y=ax2+bx-5经过A、B、C三点且交CD于F，线段AD所在直线的函数解析式为y=-3x+3．
①求点A、D的坐标；
②若ABCD的面积为12，求抛物线的函数解析式；
③在②的条件下，请问抛物线上是否存在点P，使得以CD、CP为邻边的平行四边形的面积是ABCD面积的
1
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？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
在平面直角坐标系中，A（-1，0），B（3，0）．
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（2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；
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3
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xC2．
（1）求点C的坐标；
（2）①命题“如图2，以y轴为对称轴的等腰梯形MNPQ与M1N1P1Q1的上底和下底都分别在同一条直线上，NP∥MQ，PQ∥P1Q1，且NP＞MQ．设抛物线y=a0x2+h0过点P、Q，抛物线y=a1x2+h1过点P1、Q1，则h0＞h1”是真命题．请你以Q（3，5）、P（4，3）和Q1（p，5）、P1（p+1，3）为例进行验证；
②当图1中的线段BC在第一象限时，作线段BC关于y轴对称的线段FE，连接BF、CE，点T是线段BF上的动点（如图3）；设K是过T、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的顶点，求K的纵坐标yK的取值范围．
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（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？

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