Question

如图，二次函数y=-mx²+4m的顶点坐标为（0，2），矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设点A的坐标为（x，y），试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论．
（4）求出当x为何值时P有最大值？

Answer 1

（1）∵二次函数y=-mx²+4m的顶点坐标为（0，2），
∴4m=2，
即m=

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2

，所以次抛物线的解析式为：y=-

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2

x²+2．

（2）∵A点在x轴的负方向上坐标为（x，y），四边形ABCD为矩形，BC在x轴上，
∴AD∥x轴，
又由抛物线关于y轴对称，
所以D、C点关于y轴分别与A、B对称．
所以AD的长为-2x，AB长为y，
所以周长p=2y-4x=2（-

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2

x²+2）-4x=-（x+2）²+8．
∵A在x轴的负半轴上，
∴x＜0，
∵四边形ABCD为矩形，
∴y＞0，
即x＞-2．
所以p=-（x+2）²+8，其中-2＜x＜0．

（3）不存在，
证明：假设存在这样的p，即：
9=-（x+2）²+8，
解此方程得：x无解，所以不存在这样的p．

（4）由p=-（x+2）²+8，且-2＜x＜0．
故p没有最大值．