题目内容

如图，抛物线y=（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限．
①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；
②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点的坐标．
（1）∵抛物线y=（x+1）2+k与y轴交于点C（0，-3），
∴-3=1+k，
∴k=-4，
∴抛物线的解析式为：y=（x+1）2-4，
∴抛物线的对称轴为：直线x=-1；

（2）存在．
连接AC交抛物线的对称轴于点P，则PA+PC的值最小，
当y=0时，（x+1）2-4=0，
解得：x=-3或x=1，
∵A在B的左侧，
∴A（-3，0），B（1，0），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∴
-3k+b=0
b=-3
，
解得：
k=-1
b=-3
，
∴直线AC的解析式为：y=-x-3，
当x=-1时，y=-（-1）-3=-2，
∴点P的坐标为：（-1，-2）；

（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，
∴-3＜x＜0；
①设点M的坐标为：（x，（x+1）2-4），
∵AB=4，
∴S△AMB=
1
2
×4×|（x+1）2-4|=2|（x+1）2-4|，
∵点M在第三象限，
∴S△AMB=8-2（x+1）2，
∴当x=-1时，
即点M的坐标为（-1，-4）时，△AMB的面积最大，最大值为8；

②设点M的坐标为：（x，（x+1）2-4），
过点M作MD⊥AB于D，
S四边形ABCM=S△OBC+S△ADM+S梯形OCMD=
1
2
×3×1+
1
2
×（3+x）×[4-（x+1）2]+
1
2
×（-x）×[3+4-（x+1）2]
=-
3
2
（x2+3x-4）=-
3
2
（x+
3
2
）2+
75
8
，
∴当x=-
3
2
时，y=（-
3
2
+1）2-4=-
15
4
，
即当点M的坐标为（-
3
2
，-
15
4
）时，四边形AMCB的面积最大，最大值为
75
8
．
练习册系列答案
相关题目
在第一象限内，以
5
为半径的圆⊙M经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
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（2）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
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1
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？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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A．y=
2
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x2		B．y=
4
25
x2		C．y=
2
5
x2		D．y=
4
5
x2
如图，在一边靠墙（墙足够长）用120m篱笆围成两间相等的矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积最大，则每间鸡舍的长与宽分别是______m、______m．
2011年长江中下游地区发生了特大旱情．为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备投资的金额与政府补的额度存在下表所示的函数对应关系．
型 号
金 额
投资金额x（万元）		Ⅰ型设备Ⅱ型设备
x5x24
补贴金额y（万元）y1=kx（k≠0）2y2=ax2+bx（a≠0）2.43.2
（1）分别求y1和y2的函数解析式；
（2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．
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3
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xC2．
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