Question

如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条切线，CO平分∠ACD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC=2，BC=3，求AB的长．

Answer 1

（1）证明见解析（2）2

（1）证明：过O点作OE⊥CD，垂足为E，

∵AC是切线，∴OA⊥AC。
∵CO平分∠ACD，OE⊥CD，∴∠ACO=∠ECO，∠CAO=∠CEO，
又∵OC=OC，∴△ACO≌△ECO（AAS）。∴OA=OE。
∴CD是⊙O的切线。
（2）解：过C点作CF⊥BD，垂足为F，

∵AC，CD，BD都是切线，∴AC=CE=2，BD=DE=3。
∴CD=CE+DE=5。
∵∠CAB=∠ABD=∠CFB=90°，∴四边形ABFC是矩形。
∴BF=AC=2，DF=BD﹣BF=1。
在Rt△CDF中，CF²=CD²﹣DF²=5²﹣1²=24，∴AB=CF=2。
（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论。
（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，从而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，可得出AB的长度。