Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5.
（Ⅰ)探究新知：
如图①⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G..
（1）求证内切圆的半径r₁="1;"
（2）求tan∠OAG的值；
（Ⅱ）结论应用
（1）如图②若半径为r₂的两个等圆⊙O₁、⊙O₂外切，且⊙O₁与AC、AB相切，⊙O₂与BC、AB相切，求r₂的值；
（2）如图③若半径为r_n的n个等圆⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n依次外切，且⊙O₁与AC、AB相切，⊙O_n与BC、AB相切，⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n均与AB相切，求r_n的值.

Answer 1

（Ⅰ)探究新知（1）证明见解析（2）1/2（Ⅱ）结论应用（1）（2）

解：（Ⅰ）（1）证明：在图①中，连接OE，OF。

∵点E、F、G是⊙O的切点
∴四边形CEOF是正方形， CE=CF=r₁。
又∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AG=AE=3－r₁，BG=BF=4－r₁，AG+BG=5。
∴（3－r₁）＋（4－r₁）=5，解得r₁=1。
（2）连接OG，OA在Rt△AOG中，∵OG=r₁=1， AG= 3－r₁=2，
∴tan∠OAG=。
（Ⅱ）
（1）连接O₁A、O₂B，作O₁D⊥AB交于点D、O₂E⊥AB交于点E。
则 AO₁、BO₂分别平分∠CAB、∠ABC。
由（Ⅰ）tan∠OAG=，知tan∠O₁AD=，
同理可得：tan∠O₂BE=。           
∴AD=2r₂，DE=2r₂，BE=3r₂。
∵AD＋DE＋BE=5，∴。
（2）如图③，
连接O₁A、O_nB，作O₁D⊥AB交于点D、O₂E⊥AB交于点E、…、O_nF⊥AB交于点F。则AO₁、BO₂分别平分∠CAB、∠ABC。
tan∠O₁AD=，tan∠O_nBF=,
∴AD=2r_n，DE=2r_n，…,FB=3r_n。
又∵AD+DE+…+FB=5，2r_n+2r_n+…+3r_n=5，即(2n+3) r_n=5，
∴。
（Ⅰ）（1）由切线的性质可得四边形CEOF是正方形，从而由AG=AE=3－r₁，BG=BF=4－r₁，AG+BG=5可证得内切圆的半径r₁=1。
（2）根据锐角三角函数定义直接求得。
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）的结论得tan∠O₁AD=，同理可推得tan∠O₂BE=，从而由AD=2r₂，DE=2r₂，BE=3r₂和AD＋DE＋BE=5可求得r₂的值。
（2）由（Ⅱ）（1）有tan∠O₁AD=，tan∠O_nBF=,从而由AD=2r_n，DE=2r_n，…,FB=3r_n和AD+DE+…+FB=5，2r_n+2r_n+…+3r_n=5可求得r_n的值。