Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0），与y轴交于点C（0，），顶点为D，对称轴交x轴于点E．

（1）求该抛物线的一般式；

（2）若点Q为该抛物线上第一象限内一动点，且点Q在对称轴DE的右侧，求四边形DEBQ面积的最大值及此时点Q的坐标；

（3）若点P为对称轴DE上异于D，E的动点，过点D作直线PB的垂线交直线PB于点F，交x轴于点G，当△PDG为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣；（2），Q（，）；（3）点P的坐标为（2，﹣）或（2，﹣2）或（2，﹣﹣2）或（2，﹣）

【解析】

（1）将A，B，C三点的坐标直接代入解析式即可求出a、b，c的值；

（2）过点Q作y轴的平行线交BD于点M，设点Q（m，），求出直线BD的解析式为y＝，可设M（m，），则QM＝，根据S四边形DEBQ＝S△DEB+S△DQM+S△BQM可得出m的表达式，由二次函数的性质可求出答案．

（3）设点P（2，n），可得出点G（2﹣，0），分当GP＝GD、GP＝PD、GD＝PD三种情况，得出n的方程分别求解即可．

解：（1）把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，），代入抛物线解析式得：

，解得：，

∴抛物线解析式为：y＝﹣；

（2）∵抛物线解析式为y＝﹣＝﹣，

∴抛物线的顶点D的坐标为（2，），对称轴为x＝2，E（2，0），

过点Q作y轴的平行线交BD于点M，设点Q（m，），

设直线BD的解析式为y＝kx+b，

则，

解得：，

∴直线BD的解析式为y＝，

可设M（m，），

∴QM＝﹣（）＝，

∴S四边形DEBQ＝S△DEB+S△DQM+S△BQM

＝+×（m﹣2）+，

＝．

当m＝时，S四边形DEBQ取得最大值，S四边形DEBQ＝．

此时．

∴Q（，）．

（3）抛物线的对称轴为x＝2，则点D（2，），

设点P（2，n），

将点P、B的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：

函数PB的表达式为：y＝，

∵DG⊥PB，

故直线DG表达式中的k值为，

将点D的坐标代入一次函数表达式，

同理可得直线DG的表达式为：y＝，

解得：x＝2﹣，

故点G（2﹣，0），

∴GP2＝，，，

①当GP＝GD时，，

解得：n＝﹣或（舍去），

∴P（2，﹣）．

②当GP＝PD时，，

解得：n＝﹣2±，

∴P（2，﹣2+）或P（2，﹣2﹣）．

③当GD＝PD时，，

解得：n＝﹣或n＝0（舍去）．

∴P（2，）．

综合上述，点P的坐标为（2，﹣）或（2，﹣2）或（2，﹣﹣2）或（2，﹣）．