Question

如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．

（1）求证：DP∥AB；
（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．

Answer 1

解：（1）证明：如图，连接OD，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°。
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD=∠BCD=45°。
∴∠DAB=∠ABD=45°。∴△DAB为等腰直角三角形。
∴DO⊥AB。
∵PD为⊙O的切线，∴OD⊥PD。
∴DP∥AB。
（2）在Rt△ACB中，，
∵△DAB为等腰直角三角形，∴。
∵AE⊥CD，∴△ACE为等腰直角三角形。∴。
在Rt△AED中，，
∴。
∵AB∥PD，∴∠PDA=∠DAB=45°。∴∠PAD=∠PCD。
又∵∠DPA=∠CPD，∴△PDA∽△PCD。∴。
∴PA=PD，PC=PD。
又∵PC=PA+AC，∴PD+6=PD，解得PD=。

试题分析：（1）连接OD，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得∠ACB=90°，再由∠ACD=∠BCD=45°，则∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB为等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根据切线的性质得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB。
（2）先根据勾股定理计算出AB=10，由于△DAB为等腰直角三角形，可得到；由△ACE为等腰直角三角形，得到，在Rt△AED中利用勾股定理计算出DE=，则CD=，易证得∴△PDA∽△PCD，得到，所以PA=PD，PC=PD，然后利用PC=PA+AC可计算出PD。