Question

如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．

（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；
（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．

Answer 1

解：（1）证明：连接CD，

∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°。
∴∠CAD+∠ADC=90°。
又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，
∴∠PAC=∠ADC。∴∠CAD+∠PAC=90°。
∴PA⊥OA。
又∵AD是⊙O的直径，∴PA是⊙O的切线。
（2）由（1）知，PA⊥AD，

又∵CF⊥AD，∴CF∥PA。∴∠GCA=∠PAC。
又∵∠PAC=∠PBA，∴∠GCA=∠PBA。
又∵∠CAG=∠BAC，∴△CAG∽△BAC。
∴，即AC²=AG•AB。
∵AG•AB=12，∴AC²=12。∴AC=。
（3）设AF=x，
∵AF：FD=1：2，∴FD=2x。∴AD=AF+FD=3x。
在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC²=AF•AD，即3x²=12。
解得；x=2。
∴AF=2，AD=6。∴⊙O半径为3。
在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，
∴根据勾股定理得：。
由（2）知，AG•AB=12，∴。
连接BD，

∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°。
在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=，AD=6，∴sin∠ADB=。
∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，∴sin∠ACE=。

试题分析：（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案。
（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC²=AG•AB，求出AC即可；
（3）先求出AF的长，根据勾股定理得即可得出sin∠ADB=，利用∠ACE=∠ACB=∠ADB，求出即可。