Question

如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰∠ADC=∠B。

（1）求证：直线CD是⊙O的的切线；
（2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=，BD=2，求线段AE的长。

Answer 1

解：（1）证明：连接OD，

∵OB=OD，∴∠ODB=∠B。
又∵∠ADC=∠B，∴∠ODB=∠ADC。
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90⁰。
∴∠ODC=∠ADC ＋∠ADO= ∠ODB＋∠ADO= ∠ADB=90⁰。
又 ∵OD是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的的切线。
BC=OC﹣OB=30﹣20=10（千米）。
（2）在Rt△ABD中，∵AB=，BD=2，∴根据勾股定理得AD=1。
∵AE⊥AB，∴∠EAB=90⁰。∴∠EAB=∠ADB =90⁰。
又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△EBA。∴，即。∴。

（1）连接OD，只要证明∠ODC=∠ADC ＋∠ADO= ∠ODB＋∠ADO= ∠ADB=90⁰即可。
（2）根据勾股定理求得AD=1，则由△ABD∽△EBA可列比例式求解。