题目内容
【题目】已知如图1,正方形ABCD,△CEF为等腰直角三角形,其中∠CFE=90°,CF=EF,连接CE,AE,AC,点G是AE的中点,连接FG
(1)用等式表示线段BF与FG的数量关系是 .
(2)若将△CEF绕顶点C旋转,使得点F恰好在线段AC上,并且点E在线段AC的上方,点G仍是AE的中点,连接FG,DF
①在图2中依据题意补全图形;
②求证:DF=FG.
【答案】(1)BF=FG;(2)①见解析;②见解析.
【解析】
(1)先判断出△AGB≌△CGB,得到∠GBF=45°,再判断出△EFG≌△CFG,得到∠GFB=45°,从而得到△BGF为等腰直角三角形,即可求解;
(2)①按题意画图2即可;
②如图2,连接BF、BG,证明△ADF≌△ABF得DF=BF,根据直角三角形斜边中线的性质得:AG=EG=BG=FG,由圆的定义可知:点A、F、E、B在以点G为圆心,AG长为半径的圆上,∠BGF=2∠BAC=90°,所以△BGF是等腰直角三角形,可得结论.
(1)BF=FG,
理由是:如图1,连接BG,CG,
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ABC=90°,∠ACB=45°,AB=BC,
∵EF⊥BC,FE=FC,
∴∠CFE=90°,∠ECF=45°,
∴∠ACE=90°,
∵点G是AE的中点,
∴EG=CG=AG,
∵BG=BG,
∴△AGB≌△CGB(SSS),
∴∠ABG=∠CBG=∠ABC=45°,
∵EG=CG,EF=CF,FG=FG,
∴△EFG≌△CFG(SSS),
∴∠EFG=∠CFG=(360°﹣∠BFE)=
(360°﹣90°)=135°,
∵∠BFE=90°,
∴∠BFG=45°,
∴△BGF为等腰直角三角形,
∴BF=FG.
故答案为:BF=FG;
(2)①如图2所示,
②如图2,连接BF、BG,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠ABC=∠BAD=90°,AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC=45°,
∵AF=AF,
∴△ADF≌△ABF(SAS),
∴DF=BF,
∵EF⊥AC,∠ABC=90°,点G是AE的中点,
∴AG=EG=BG=FG,
∴点A、F、E、B在以点G为圆心,AG长为半径的圆上,
∵ ,∠BAC=45°,
∴∠BGF=2∠BAC=90°,
∴△BGF是等腰直角三角形,
∴BF=FG,
∴DF=FG.

【题目】市园林处为了对一段公路进行绿化,计划购买,
两种风景树共900棵.
,
两种树的相关信息如下表:
品种 项目 | 单价(元 | 成活率 |
80 | ||
100 |
若购买种树
棵,购树所需的总费用为
元.
(1)求与
之间的函数关系式;
(2)若购树的总费用不超过82 000元,则购种树不少于多少棵?
(3)若希望这批树的成活率不低于,且使购树的总费用最低,应选购
,
两种树各多少棵?此时最低费用为多少?
【题目】如图1,将边长为1的正方形ABCD压扁为边长为1的菱形ABCD.在菱形ABCD中,∠A的大小为α,面积记为S.
(1)请补全下表:
30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | |
S | 1 |
(2)填空:
由(1)可以发现正方形在压扁的过程中,菱形的面积随着∠A大小的变化而变化,不妨把菱形的面积S记为S(α).例如:当α=30°时,;当α=135°时,
.由上表可以得到
( ______°);
( ______°),…,由此可以归纳出
.
(3) 两块相同的等腰直角三角板按如图的方式放置,AD=,∠AOB=α,试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等,并说明理由(注:可以利用(2)中的结论).
【题目】中学初三(1)班共有40名同学,在一次30秒跳绳测试中他们的成绩统计如下表:
跳绳数/个 | 81 | 85 | 90 | 93 | 95 | 98 | 100 |
人 数 | 1 | 2 | 8 | 11 | 5 |
将这些数据按组距5(个)分组,绘制成如图的频数分布直方图(不完整).
(1)将表中空缺的数据填写完整,并补全频数分布直方图;
(2)这个班同学这次跳绳成绩的众数是 个,中位数是 个;
(3)若跳满90个可得满分,学校初三年级共有720人,试估计该中学初三年级还有多少人跳绳不能得满分.