题目内容

【题目】已知如图1,正方形ABCD,△CEF为等腰直角三角形,其中∠CFE90°,CFEF,连接CEAEAC,点GAE的中点,连接FG

1)用等式表示线段BFFG的数量关系是   

2)若将△CEF绕顶点C旋转,使得点F恰好在线段AC上,并且点E在线段AC的上方,点G仍是AE的中点,连接FGDF

在图2中依据题意补全图形;

求证:DFFG

【答案】1BFFG;(2见解析;见解析.

【解析】

1)先判断出AGB≌△CGB,得到∠GBF=45°,再判断出EFG≌△CFG,得到∠GFB=45°,从而得到BGF为等腰直角三角形,即可求解;
2)①按题意画图2即可;
②如图2,连接BFBG,证明ADF≌△ABFDF=BF,根据直角三角形斜边中线的性质得:AG=EG=BG=FG,由圆的定义可知:点AFEB在以点G为圆心,AG长为半径的圆上,∠BGF=2BAC=90°,所以BGF是等腰直角三角形,可得结论.

1BFFG

理由是:如图1,连接BGCG

∵四边形ABCD为正方形,

∴∠ABC90°,∠ACB45°ABBC

EFBCFEFC

∴∠CFE90°,∠ECF45°

∴∠ACE90°

∵点GAE的中点,

EGCGAG

BGBG

∴△AGB≌△CGBSSS),

∴∠ABG=∠CBGABC45°

EGCGEFCFFGFG

∴△EFG≌△CFGSSS),

∴∠EFG=∠CFG360°﹣∠BFE)=360°90°)=135°

∵∠BFE90°

∴∠BFG45°

∴△BGF为等腰直角三角形,

BFFG

故答案为:BFFG

2)①如图2所示,

②如图2,连接BFBG

∵四边形ABCD是正方形,

ADAB,∠ABC=∠BAD90°AC平分∠BAD

∴∠BAC=∠DAC45°

AFAF

∴△ADF≌△ABFSAS),

DFBF

EFAC,∠ABC90°,点GAE的中点,

AGEGBGFG

∴点AFEB在以点G为圆心,AG长为半径的圆上,

,∠BAC45°

∴∠BGF2BAC90°

∴△BGF是等腰直角三角形,

BFFG

DFFG

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