题目内容
【题目】已知:在△ABC中,AB=BC,以AB为直径作 ,交BC于点D,交AC于E,过点E作
切线EF,交BC于F.
(1)求证:EF⊥BC;
(2)若CD=2,tanC=2,求的半径.
【答案】(1)证明见解析;(2)5.
【解析】
(1)连接OE,BE,由已知条件易得点E是AC的中点,点O是AB的中点,由此可得OE∥BC,结合EF⊥OE即可得到EF⊥BC;
(2)连接AD,由已知易得∠ADB=∠ADC=90°,结合CD=2,tanC=2,可得AD=4,设AB=x,则由已知可得BD=x-2,然后再Rt△ABD中由勾股定理建立关于x的方程,解方程即可求得AB的值,由此即可得到的半径的值.
(1)如下图,连结BE,OE.
∵AB为直径,
∴∠AEB=90°.
又∵AB=BC,
∴点E是AC的中点.
∵点O是AB的中点,
∴OE∥BC.
∵EF是的切线,
∴EF⊥OE.
∴EF⊥BC.
(2)如上图,连结AD.
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
∵CD=2,tanC=2,
∴AD=4.
设AB=x,则BD=x﹣2.
∵AB2=AD2+BD2,
∴.
解得x=5.即AB=5.

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