题目内容
【题目】解答题
（1）将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是 ， ∠CAC′=°．
（2）如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，说明理由．
【答案】
（1）A′D；=90°
（2）
EP=FQ，
证明：∵△ABE是等腰直角三角形，
∴∠EAB=90°，即∠EAP+∠BAG=90°，又∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠EAP=∠ABG，
在△APE和△BGA中，
，
∴△APE≌△BGA，
∴EP=AG，
同理，FQ=AG，
∴EP=FQ；
（3）
HE=HF，
证明：作EP⊥GA交GA的延长线于P，作FQ⊥GA交GA的延长线于Q，
∵四边形ABME是矩形，
∴∠EAB=90°，即∠EAP+∠BAG=90°，又∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠EAP=∠ABG，又∠APE=∠BGA=90°，
∴△APE∽△BGA，
∴ 
= 
，即AG=kEP，
同理△AQF∽△CGA，
∴ 
=k，即AG=kFQ，
∴EP=FQ，
∵EP⊥GA，FQ⊥GA，
∴EP∥FQ，又EP=FQ，
∴HE=HF．
【解析】解：（1）如图2，由旋转的性质可知，△ABC≌△A′C′D，
∴BC=A′D，∠ACB=∠C′AD，又∠ACB+∠CAB=90°，
∴∠C′AD+∠CAB=90°，即∠CAC′=90°，
所以答案是：A′D；=90°；
【考点精析】认真审题，首先需要了解旋转的性质(①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了)．
