题目内容
【题目】已知抛物线:是由抛物线:平移得到的,并且的顶点为(1,-4)
(1)求的值;
(2)如图1,抛物线C1与x轴正半轴交于点A,直线经过点A,交抛物线C1于另一点B.请你在线段AB上取点P,过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q,连接AQ.
①若AP=AQ,求点P的坐标;
②若PA=PQ,求点P的横坐标.
(3)如图2,△MNE的顶点M、N在抛物线C2上,点M在点N右边,两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点,ME、NE均与y轴不平行.若△MNE的面积为16,设M、N两点的横坐标分别为m、n,求m与n的数量关系.
【答案】(1);(2)①P点坐标为;②P点横坐标为﹣;(3)m﹣n=4.
【解析】
(1)抛物线:是由抛物线:平移得到的,求出 ,
由抛物线的顶点为(1,-4),即可求出b、c的值;
(2)由直线经过点A,求出b的值,从而求出直线和抛物线的解析式,设P(t,﹣t+4),根据PQ∥y轴,推出Q(t,t2﹣2t﹣3),分两种情况:①当AP=AQ时,②当AP=PQ时,列出关于t的方程,即可求解;
(3)设经过的直线解析式为y=k(x﹣m)+m2,直线ME与的方程联立得到方程组,由直线ME与有唯一公共点,得到k=2m,直线ME的解析式为y=2mx﹣m2,同理可求直线NE的解析式为y=2nx﹣n2,求得E.过E作直线∥x轴,分别过M,N作的垂线,垂足为C,D,根据,列出关于m,n的方程,即可求解.
(1)∵抛物线:是由抛物线:平移得到的,
∴,
∵抛物线的顶点为(1,-4)
∴,,
∴,
∴
(2)y=(x﹣1)2﹣4与x轴正半轴的交点A(3,0),
∵直线y=﹣x+b经过点A,
∴b=4,
∴y=﹣x+4,
﹣x+4=(x﹣1)2﹣4,
∴x=3或x=﹣,
∴B(﹣,),
设P(t,﹣t+4),且﹣<t<3,
∵PQ∥y轴,
∴Q(t,t2﹣2t﹣3),
①当AP=AQ时,
|4﹣t|=|t2﹣2t﹣3|,
则有﹣4+t=t2﹣2t﹣3,
∴t=,
∴P点坐标为
②当AP=PQ时,
PQ=t2+t+7,PA=(3﹣t),
∴-t2+t+7=(3﹣t),
∴t=﹣;
∴P点横坐标为﹣
(3)设经过的直线解析式为y=k(x﹣m)+m2,
,则有x2﹣kx+km﹣m2=0,
∵直线ME与有唯一公共点,
∴△=k2﹣4km+4m2=(k﹣2m)2=0,
∴k=2m,直线ME的解析式为y=2mx﹣m2,
同理可求直线NE的解析式为y=2nx﹣n2,
∴E,
如图,过E作直线∥x轴,分别过M,N作的垂线,垂足为C,D,
∴ [(n2﹣mn)+(m2﹣mn)]×(m﹣n)﹣(n2﹣mn)×(﹣n)﹣(m2﹣mn)×(m﹣)=16,
∴(m﹣n)3=64,
∴m﹣n=4