Question

【题目】如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的一半，则称这样的方程为“半等分根方程”．

（1）①方程 半等分根方程（填“是”或“不是”）；

②若是半等分根方程，则代数式 ；

（2）若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是半等分根方程吗？并说明理由；

（3）如果方程是半等分根方程，且相异两点，都在抛物线上，试说明方程的一个根为．

Answer 1

【答案】（1）①不是；②0；（2）若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是半等分根方程，理由详见解析；（3）详见解析

【解析】

（1）①解方程，根据“半等分根方程”定义作出判断即可；②解方程得，，所以或，即：n=-2m或m=-2n，分别代入代数式结果均为0

（2）根据点在反比例函数的图象上，得到，代入，得到关于x的方程，解方程，用含p的式子表示x，根据“半等分根方程”定义判断即可；

（3）根据两点，都在抛物线上，且纵坐标相等，可以求出对称轴为，根据方程是半等分根方程，得到两根关系，根据抛物线对称轴为

，即可求出两个根，问题得证．

解：（1）①解方程得，不符合“半等分根方程”定义，

故答案为：不是；

②解方程得，，所以或，即：n=-2m或m=-2n，

当n=-2m时，；

当m=-2n时，；

故答案为：0；

（2）若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是半等分根方程

理由：∵点在反比例函数的图象上

∴代入方程得：

解得：，

∵

∴方程是半等分根方程

（3）∵相异两点，都在抛物线上，

∴抛物线的对称轴为：

又∵方程是半等分根方程

∴设的两个根分别为和

令则有：

所以，

所以方程的一个根为得证．