Question

已知ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，抛物线y=ax²+bx-5经过A、B、C三点且交CD于F，线段AD所在直线的函数解析式为y=-3x+3．
①求点A、D的坐标；
②若ABCD的面积为12，求抛物线的函数解析式；
③在②的条件下，请问抛物线上是否存在点P，使得以CD、CP为邻边的平行四边形的面积是ABCD面积的

1

6

？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

①线段AD所在直线的函数解析式为y=-3x+3，
令y=0，得x=1，
∴A点坐标为（1，0），
令x=0，得y=3，
∴D点坐标为（0，3）．

②设B点坐标为B（x，0），
AB=x-1，
又∵四边形ABCD的面积为12，
AB•OD=12，即（x-1）•3=12，
解得x=5，
∴B（5，0）
将A，B两点代入抛物线的解析式y=ax²+bx-5中，
解得

a=-1 b=6

，
∴抛物线的函数解析式为y=-x²+6x-5

③设抛物线上存在点P使得以CD、CP为邻边的平行四边形的面积是ABCD面积的

1

6

设P点坐标为P（x，y），
∵CD=AB=4
∴CD•|y-3|=

1

6

×12，即|y-3|=

1

2

，
∴y=

7

2

或

5

2

，
将其代入抛物线的解析式中，
当y=

7

2

时，x=

6± 2

2

，
∴点P的坐标为（

6+ 2

2

，

7

2

）或（

6- 2

2

，

7

2

）
当y=

5

2

时，x=

6± 6

2

，
∴点P的坐标为（

6+ 6

2

，

5

2

）或（

6- 6

2

，

5

2

）．