题目内容
如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，A在B的左侧，A坐标为（-1，0）与y轴交于点C（0，3）△ABC的面积为6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，点N为x轴上一点，当以M，N，B为顶点的三角形与△ABC相似时，请你求出BN的长度；
（3）设抛物线的顶点为D在线段BC上方的抛物线上是否存在点P使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，点N为x轴上一点，当以M，N，B为顶点的三角形与△ABC相似时，请你求出BN的长度；
（3）设抛物线的顶点为D在线段BC上方的抛物线上是否存在点P使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）∵C（0，3），
∴OC=3，
又∵S△ABC=
AB•OC=6，
∴AB=4；
∵A为（-1，0），
∴B为（3，0），
设抛物线解析式y=a（x+1）（x-3）
将C（0，3）代入求得a=-1，
∴y=-x2+2x+3．
（2）抛物线的对称轴为直线x=-
=1，
由B（3，0），C（0，3），得直线BC解析式为：y=-x+3；
∵对称轴x=1与直线BC：y=-x+3相交于点M，
∴M为（1，2）；
可直接设BN的长为未知数．
设N（t，0），当△MNB∽△ACB时，
∴
=
即
=
即t=0，
∵△MNB∽△CAB时，∴
=
?
=
得t=
，
所以BN的长为3或
．
（3）存在．由y=-x2+2x+3得，抛物线的对称轴为直线x=-
=1，顶点D为（1，4）；
①当PD=PC时，设P点坐标为（x，y）根据勾股定理，
得x2+（3-y）2=（x-1）2+（4-y）2即y=4-x，
又P点（x，y）在抛物线上，4-x=-x2+2x+3，
即x2-3x+1=0，
解得x=
；
∴y=4-x=
或
即点P坐标为（
，
）或（
，
）；
②当CD=PD时，即P，C关于对称轴对称，
此时P的纵坐标为3，即3=-x2+2x+3，
解得x1=2，x2=0（舍去），
∴P为（2，3）；
③当PC=CD时，P只能在C点左边的抛物线上，所以不考虑；
∴符合条件的点P坐标为（
，
），（
，
）或（2，3）．
∴OC=3，
又∵S△ABC=
| 1 |
| 2 |
∴AB=4；
∵A为（-1，0），
∴B为（3，0），
设抛物线解析式y=a（x+1）（x-3）
将C（0，3）代入求得a=-1，
∴y=-x2+2x+3．
（2）抛物线的对称轴为直线x=-
| b |
| 2a |
由B（3，0），C（0，3），得直线BC解析式为：y=-x+3；
∵对称轴x=1与直线BC：y=-x+3相交于点M，
∴M为（1，2）；
可直接设BN的长为未知数．
设N（t，0），当△MNB∽△ACB时，
∴
| BN |
| BC |
| MB |
| AB |
即
| 3-t | ||
3
|
2
| ||
| 4 |
∵△MNB∽△CAB时，∴
| BN |
| AB |
| MB |
| CB |
| 3-t |
| 4 |
2
| ||
3
|
得t=
| 1 |
| 3 |
所以BN的长为3或
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| 3 |
（3）存在．由y=-x2+2x+3得，抛物线的对称轴为直线x=-
| b |
| 2a |
①当PD=PC时，设P点坐标为（x，y）根据勾股定理，
得x2+（3-y）2=（x-1）2+（4-y）2即y=4-x，
又P点（x，y）在抛物线上，4-x=-x2+2x+3，
即x2-3x+1=0，
解得x=
3±
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∴y=4-x=
5-
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5+
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3+
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5-
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3-
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5+
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②当CD=PD时，即P，C关于对称轴对称，
此时P的纵坐标为3，即3=-x2+2x+3，
解得x1=2，x2=0（舍去），
∴P为（2，3）；
③当PC=CD时，P只能在C点左边的抛物线上，所以不考虑；
∴符合条件的点P坐标为（
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练习册系列答案
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