Question

【题目】如图，四边形OMTN中，OM=ON，TM=TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．

（1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论;
（2）在筝形ABCD中，已知AB=AD=5，BC=CD，BC＞AB，BD、AC为对角线，BD=8，
①是否存在一个圆使得A，B，C，D四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由；
②过点B作BF⊥CD，垂足为F，BF交AC于点E，连接DE，当四边形ABED为菱形时，求点F到AB的距离．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：猜想：筝形对角线之间的位置关系：垂直．即OT⊥MN．

证明：连接OT，MN，

在△OMT和△ONT中，

，

∴△OMT≌△ONT（SSS），

∴∠MOT=∠NOT，

∵OM=ON，

∴OT⊥MN（等腰三角形三线合一）．

（2）

【解答】

①存在．

由（1）得AC⊥BD，设AC与BD交于点M，

在Rt△AMB中，AB=5，BM=BD=4，

∴AM==3，

∵A、B、C、D四点共圆，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

又∵△ABC≌△ADC，

∴∠ABC=∠ADC=90°，

∴AC即为所求圆的直径

∵∠BAM=∠BAC，∠ABC=∠AMB=90°，

∴△ABM∽△ACB，

∴=，即=，

∴AC=

∴圆的半径为：AC=．

②作FM⊥AB，作EG⊥AB于G．

∵四边形ABED是菱形，

∴AE⊥BD，且BN=BD=4，

∴AN=NE===3，AE=6．

∴S菱形ABED=AEBD=×6×8=24，

又∵S菱形ABED=ABEG，

∴EG=．

∵∠DBF=∠DBF，∠BNE=∠BFD，

∴△BNE∽△BFD，

∴，即，

∴BF=．

∵GE⊥AB，FM⊥AB，

∴GE∥FM，

∴△BEG∽△BFM，

∴，即，

解得：FM=．

【解析】（1）证明△OMP≌△ONP，即可证得MN⊥OT，且OT平分MN；
（2）①若经过A，B，C，D四个点的圆存在，则对角互补，据此即可判断；
②已知FM⊥AB，作EG⊥AB于G，根据菱形的面积公式求得GE的长，然后根据△BNE∽△BFD求得BF的长，再根据△BEG∽△BFM求得FM的长．
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握相似三角形的切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．