题目内容
【题目】如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．
（1）将下面的表格补充完整：
正多边形的边数 | 3 | 4 | 5 | 6 | …… | 18 |
∠α的度数 |
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|
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| …… |
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（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α=20°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
（3）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α=21°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）60°，45°，36°，30°，10°；（2）当多边形是正九边形，能使其中的∠α=20°；（3）不存在，理由见解析
【解析】
（1）根据多边形内角和公式求出多边形的内角和，再根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据表中的结果得出规律，根据规律得出方程，求出方程的解即可；
（3）根据表中的结果得出规律，根据规律得出方程，求出方程的解即可．
（1）填表如下：
正多边形的边数 | 3 | 4 | 5 | 6 | …… | 18 |
∠α的度数 | 60° | 45° | 36° | 30° | …… | 10° |
故答案为：60°，45°，36°，30°，10°；
（2）存在一个正n边形，使其中的∠α=20°，
理由是：根据题意得：
=20°，
解得：n=9，
即当多边形是正九边形，能使其中的∠α=20°；
（3）不存在，理由如下：
假设存在正 n 边形使得∠α=21°，得 
，
解得：
，又 n 是正整数，
所以不存在正 n 边形使得∠α=21°．
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